Equação de segundo grau
As equações de segundo grau, utilizando-se os mesmos critérios de equivalênciada equação de primeiro grau, reduzem-se à seguinte expressão: 

onde a, b  e c  são números reais, com a0, e x  é a incógnita. Os númerosa, b e c são os coeficientes da equação: 

a   é o coeficiente de x² 

b é o coeficiente de x 

c   é o termo independente de x 

Esta maneira de apresentar a equação de segundo grau recebe o nome de forma ou fórmula geral. 

Resolução da equação de segundo grau
Quando tivermos de resolver uma equação de segundo grau, veremos que, às vezes, elas estão completas, com todos os termos que marcam a forma geral, e em outras ocasiões estão incompletas, como nos seguintes casos: 

Essas equações devem ser resolvidas diretamente, pois é mais rápido e simples. 

Resolução das equações de segundo grau incompletas 

•	Equações do tipo ax2  = 0. Com a> 0. Solucionamos:

Transpomos os termossomando – c: a x²  = – c 

Isolamos:

Se – c / a for negativo, não há solução no conjunto dos números reais. 

Se – c / a for positivo, a equação tem duas soluções: 

Fatoramos a equação tirando o fator comum x: x (ax + b) = 0 

É importante considerar que se o produto de dois fatores for 0, pelo menos um deles tem de ser 0. Desta propriedade, deduzimos que: 

onde x = 0 já é uma solução. Falta acharmos a solução de ax + b = 0, onde: 

Temos, portanto, duas soluções: 

Resolução das equações de segundo grau completas 

Se tivermos uma equação do tipo: ax²  + bx + c = 0 

A solução de uma equação do segundo grau completa é deduzida a partir da transformação de um trinômio do 2º grau em um quadrado perfeito. 

Vamos, então, preparar o primeiro membro da equação assinalada utilizando os princípios de equivalência para que seja um quadrado perfeito. 

•	Transpomos os termos somando –c: ax2  + bx = –c
•	Multiplicamos por 4a: 4a2x2 + 4abx = – 4ac
•	Somamos b2: 4a2x2 + 4abx + b2 = b2  –4ac, o que nos dá no primeiro membro ou então ((2ax + b)2 = b2 – 4ac
•	Extraímos a raiz quadrada:
•	Somamos
•	Dividimos por 2a:

Finalmente, a equação de segundo grau completa, se b² – 4ac for positivo, tem duas soluções: 

Soluções da equação de segundo grau
A existência e o número de soluções da equação ax²  + bx + c = 0 dependem do número b²  - 4ac, a que chamaremos discriminante e representaremos pela letra grega  (delta maiúscula). 

Discussão do discriminante 

•	Se  < 0, não há solução, pois não existe raiz quadrada real de um número negativo.
•	Se  = 0, há duas soluções iguais:

•	Se  > 0, há duas soluções reais diferentes:

e

As soluções de uma equação recebem também o nome de raízes da equação. Por raiz da equação entendemos, então, o valor do termo incógnito que satisfaz a igualdade da equação. 

Relação entre as raízes e os coeficientes
Na busca de formas mais simples de se resolver uma equação de segundo grau, os matemáticos encontraram uma interessante relação entre os coeficientes e as raízes que permitiu resolver essas equações com um simples cálculo mental. Essa relação foi percebida ao se fazerem a soma e o produto de suas raízes. 

Soma das raízes: 

Produto das raízes: 

Observando estas operações, podemos facilmente comprovar que, para conhecer a soma e o produto das raízes de uma equação de segundo grau, não é preciso resolver a equação. 

Dada a equação 2x² + 2x – 12 = 0; a = 2, b = – 2 e c = 12 

Dois números que somados resultam 1 e cujo produto é –6 só podem ser 3 e –2. Portanto, as raízes da equação são –3 e 2.