Definição
A expressão matemática que define a função exponencial é uma potência. Nesta potência, a base é um número real positivo e diferente de 1  e o expoente é uma variável. 

Chamamos exponencial de base b > 0 e b 1 à função 

++ (sendo++o conjunto dos números reais positivos) xbx

de modo que 

ou então 

Dessa forma, a notação da função exponencial nos permite expressá-la de duas formas: 

ou então, como: 

O valor da base na função exponencial
No estudo da função exponencial devemos diferenciar dois grupos de funções: 

Vamos ver um caso prático para depois generalizar. 

Dadas as funções g(x) = 2^x, onde b > 1; e f(x) = (1/2)^x, onde 0 < b < 1, vamos representar ambas graficamente. 

Para isto, é necessário elaborar uma tabela de valores para cada função (Figuras 1 e 2, abaixo). 

ou então, 

ou então, 

Uma vez calculado o valor da função para valores distintos de x, podemos representar graficamente as duas funções. 

Vamos observar que estão representadas nos mesmos eixos de coordenadas a função g(x) = 2^x, em azul, e a função f(x) = (1/2)^x, em vermelho (Figura 3, ao lado). 

Graficamente é fácil notar que todas as funções exponenciais que verificam a expressão geral y = b^x (para b >1), como no caso de y = 2^x, têm características e propriedades próprias. 

Para lembrar:

Características
Se observarmos atentamente o gráfico da Figura 3, abaixo, podemos tirar algumas conclusões. 

Figura 3

Em geral, sempre que tivermos a função exponencial (x) = b^x onde b > 0 e b 1, então: 

•	f é contínua, seu domínio é  e seu conjunto imagem é ++.
•	f  é crescente  se b > 1. f é decrescente  se b < 1.
•	f (0) = 1 e f (1) = b.
•	Os gráficos de y = bx e y = (1/b)x  são simétricos em relação ao eixo OY.

4. Funções exponenciais crescentes e decrescentes
Lembre-se de que diferenciamos dois grupos distintos de funções exponenciais conforme o valor da base b ser maior do que 1  ou estar compreendido entre 0  e 1. 

A Figura 4 mostra funções que representam a expressão geral: 

Figura 4

Na Figura 5 estão funções do tipo: 

Vamos observar como se comporta cada tipo de função quando os valores de x  aumentam ou diminuem. 

Figura 5

•	Note que se o valor de x aumenta tendendo para +, ou seja, seu valor cresce cada vez mais, a função também assumirá valores cada vez maiores, aproximando-se do valor +.
•	Ao contrário, se o valor de x diminui tendendo para – , isto é, seu valor decresce cada vez mais, a função toma valores sempre menores aproximando-se do valor 0  sempre pelo lado negativo do eixo OY.
•	Se o valor dexaumenta tendendo para +, a função tomará valores cada vez menores aproximando-se de 0 pelo lado negativo do eixo OY. Ocorre o inverso, se o valor dexdiminui tendendo para – . Neste caso, a função toma valores cada vez maiores e se aproxima do valor +.

Propriedades
Se quisermos definir a função exponencial de forma mais aritmética para facilitar o cálculo, diremos que: 

Assim, a função exponencial definida por f (x) = 2^x, para x = 5, será: 

pois, segundo a definição: 

Pode acontecer que seja dado o valor da função e seja pedido o valor de x correspondente:
exp₂^(x) = 64. 

É preciso então transformar 64 numa potência de base igual à da função exponencial,
neste caso, 2. 

Assim: 

ou seja, 

que podemos expressar como 

de onde, finalmente, deduzimos que: 

Equações exponenciais
Equação exponencial tem este nome porque apresenta a incógnita em algum expoente. Numa equação exponencial encontraremos potências em que a base será conhecida e o valor do expoente será desconhecido, ou seja, será a incógnita. 

Para lembrar:

Resolução
É conveniente saber que nem todas as equações exponenciais podem ser resolvidas. 

Vamos estudar alguns exemplos resolvidos. O que pretendemos é demonstrar como, a partir de algumas etapas simples, é possível transformar uma equação exponencial numa igualdade de duas potências da mesma base. 

Para lembrar:

A equação exponencial 5^x = 1/125 

Para resolvê-la, podemos escrevê-la como: 

ou então, o que dá no mesmo: 

de onde deduzimos que x = ^– 3. 

A equação exponencial 9 X 3 – x+1 = 81. 

Se a transformarmos em potências de base 3, obteremos a seguinte expressão: 

que também podemos escrever como: 

e de onde deduzimos que: 

A equação exponencial (2^x)^x = 16 X 8^x2. 

Primeiro escrevemos toda a equação como potências de base2obtendo: 

de onde tiramos 

até chegar a 

ou então, 

que já sabemos que não tem solução real. 

A equação exponencial 2 X 3^x – 9^x + 3 = 0.
Podemos escrevê-la como: 2 X 3^x – (3²)^x + 3 = 0, ou, o que é o mesmo, como:
2 X 3^x (3^x)² + 3 = 0.

Mudamos (3²)^x por (3^x)², pois o resultado do cálculo desta potência não varia com esta modificação.

Ordenando os termos da última expressão, obteremos:
(3^x)² – 2 X 3^x – 3 = 0. 

Se tratarmos esta expressão como se fosse uma equação de segundo grau, podemos considerar 3^x como incógnita, 3^x = y, e isolando-a, obteremos: 

Agora comprovamos se alguma das soluções é válida: 

onde deduzimos que: x = 1. 

o que implica que não teremos solução para este valor, porque as funções exponenciais são sempre positivas. 

Quantos grãos de areia cabem no Universo?
Arquimedes, matemático grego do século III a.C., gostava de dar asas à imaginação. Certa vez resolveu contar quantos grãos de areia cabiam no Universo! Como os números deste sonho eram muito altos, ele os transformava em potências de 10 e fazia os cálculos com os expoentes. 

Nos séculos XV, XVI e XVII, com o surgimento do comércio mundial, o homem precisou lidar com os grandes números do mercado internacional: das distâncias navegadas, da quantidade de mercadorias e das altas transações financeiras. Para lidar com estes novos cálculos, a idéia de Arquimedes foi retomada pelo matemático escocês John Napier (1550 a 1617), que sistematizou, assim, o conceito de logaritmo — a função logarítmica — na forma que hoje o conhecemos. 

Para lembrar:

Vale dizer que, em sua contagem dos grãos de areia que cabiam no Universo, Arquimedes chegou ao resultado 10⁵¹  grãos! 

Função logarítmica
A expressão matemática que define a função logarítmica é um logaritmo. Nele, a base é constante e o valor de x  é o termo variável. 

Chamamos de logaritmo de base b > 0 e b1  à função 

R++R x

de maneira que y =  ou  = a. 

Para lembrar:

Relação entre função logarítmica e função exponencial
As funções exponencial e logarítmica referem-se a movimentos inversos da potenciação. Em Matemática, um movimento numérico que desfaz o outro é chamado de inverso. 

Assim, o domínio de uma função é imagem da outra e vice-versa. 

Vamos começar desenvolvendo um caso particular para depois generalizar. 

Nas Figuras 6 e 7, abaixo, respectivamente, observaremos o gráfico da função exponencial
exp₂^(x) = 2^x, em cor azul, e o gráfico da função logarítmica y = log₂^x, em cor vermelha. 

Figura 6	Figura 7

Portanto, podemos definir y =como a função inversa de y = bx, sempre que b seja um número real, positivo e diferente de 1.

Para representar as duas funções, utilizamos a mesma tabela de valores  (Figura 8, abaixo), mas, no caso da logarítmica, ela deve ser lida ao contrário. 

Figura 8

Se representarmos as duas funções no mesmo conjunto de eixos, por exemplo y = 2^x e y = log₂^x, dado que uma é a inversa da outra, verifica-se sempre que seus gráficos são simétricos com respeito à bissetriz y = x (Figura 9, abaixo). 

Figura 9

(– , 0)

onde a função logarítmica não está definida: 

onde o logaritmo é negativo: 

(1, +)

onde o logaritmo é positivo. 

Do mesmo gráfico, e de forma generalizada para qualquer função logarítmica, podemos deduzir também as seguintes características: 

•	A funçãoé contínua e crescente.
•	Seu domínio é R++, portanto, todos os números reais positivos e seu conjunto de imagens é R, isto é, todos os números reais.
•	O logaritmo de 1 na base b é 0.

O estudo da função logarítmica
Vamos observar o gráfico de uma função logarítmica qualquer (Figura 10, abaixo).
Seguramente intuiremos como se comporta a função quando os valores de x  aumentam ou diminuem. 

Figura 10

•

Consideremos que, se o valor de x diminui tendendo a 0+, isto é, seu valor se aproxima de zero pelo lado positivo, a função toma valores cada vez menores, aproximando-se de . Inversamente, se o valor de x aumenta tendendo para +, ou seja, seu valor se torna cada vez maior, a função também irá tomando valores cada vez maiores, aproximando-se de+.

Propriedades
Os logaritmos podem ser definidos também de forma mais aritmética para serem calculados. 

Isto pode ser expresso de duas formas equivalentes: 

= aba = x

log₂8 = 3, dado que 2³ = 8  

log_b1 = 0, porque b⁰ = 1 

log_bb = 1, pois b¹ = b

log₃1/3 = ^– 1, pois 3 ^{– 1} = 1/3  

Por último, cabe assinalar algumas propriedades algébricas particulares dos logaritmos: 

Logaritmo de um produto 

Logaritmo de um quociente 

Logaritmo de uma potência 

y =  yX

Logaritmo de uma raiz 

Mudança de base de logaritmos 

Como fazer cálculos em movimentos quantitativos expressos em expoentes de uma potência de mesma base?
As equações logarítmicas são geradas pelas funções logarítmicas. Para sua resolução, não podemos esquecer que a função logarítmica e a função exponencial estão intimamente relacionadas, pois são funções inversas. Por isso, para resolver esses tipos de equações, recorremos geralmente a alguma função inversa. 

Equações logarítmicas
Falamos de equação logarítmica quando nos referimos a uma equação em que a incógnita aparece expressa num logaritmo. 

Resolução
Para resolver equações logarítmicas, dispomos de uma série de propriedades, tais como: 

Para ilustrar a resolução das equações logarítmicas, estruturamos dois exemplos resolvidos. Analisaremos os diferentes passos seguidos para alcançar a solução.
Além disso, assinalamos nos subitens acima os recursos (propriedades) que utilizaremos em cada passo. 

Na equação logarítmica: 2 log x + 2 = log 4x , primeiro agrupamos os termos semelhantes: 

Depois, pela propriedade do cálculo do logaritmo de uma potência: 

Em seguida, usamos a propriedade do cálculo do logaritmo de um quociente: 

Assim, 

Também podemos escrever: 

A partir daí, desenvolvemos como uma equação qualquer: 

x2 = 4x / 10025x2– x = 0x (25x – 1) = 0

de onde deduzimos que o valor dexpode ser: 

Na equação logarítmica: log 2 + log (x – 3) = log 

Utilizamos a propriedade do cálculo do logaritmo de um produto: 

log 2 (x – 3) = log

Usando a função exponencial, e como ela é a função inversa sempre nos dois membros da equação (como no primeiro exemplo), obtemos: 

2 (x – 3) =

e elevando os dois membros ao quadrado: 

eliminamos a raiz quadrada. 

A partir desse ponto, continuamos operando como numa equação de segundo grau qualquer: 

2 (x – 3)2 = x2x2 – 13x + 18 = 0

de onde deduzimos que o valor dexpode ser: 

Substituindo o segundo valor na equação logarítmica original, vemos que: 

Pelo estudo da função logarítmica, sabemos que o logaritmo de um número negativo não existe. 

Por isso, a solução x = 2 não é válida. 

EXERCÍCIOS 1. Resolver as seguintes funções exponenciais para x = 4: a) exp2(x) = b) exp3(x) = c) exp4(x) =  2. Calcular o valor de x nas seguintes funções: a) exp2(x) = 128 b) exp3(x) = 27 c) exp4(x) = 64  3. Calcular os conjuntos domínio e a imagem da função y = 2x. 4. A partir da função f(x) = 2x, calcular os valores de x  que resultam das seguintes imagens: 1/16; 0,25; 64;;. 5. Representar graficamente a função y = 0,6x. Quais são os seus conjuntos domínio e imagem? 6. Calcular o valor de x para as seguintes equações exponenciais: a) 2x = 8 b) 3x = 1/243 c) 4 X 2x– 1 = 64 d) 25– 2 = 1/5x 7. Calcular os seguintes logaritmos: a) log41/16 = x b) log39 = x c) log51/5 = x d) log31/719 = x e) logx 1/32 = – 5 f) log10x = 4 8. Calcular o valor das incógnitas nas seguintes equações logarítmicas: a) 2 X log 2 + log (x2 – 1) – log (4x – 1 ) = 0 b) logb x = logb 8 – logb 3 c) logb x = 6 logb 7/3 d) log x = 1 – log (x + 3)