O surgimento da moeda
Um ser humano pode produzir tudo o que necessita para sua sobrevivência? Suponhamos que ele seja produtor de trigo: é possível ele calçar trigo, vestir trigo e só comer trigo? Claro que não. 

Dessa impossibilidade estabeleceu-se uma relação entre os homens: a troca das mercadorias que produzem. 

Por meio da troca, o produtor de trigo podia obter calçados, roupas ou outras necessidades. Bastava para isto dar a quantidade de trigo correspondente à quantidade da outra mercadoria. 

Esse processo apresentava, contudo, um problema: imagine que o nosso produtor de trigo esteja interessado em café, mas nenhum produtor de café esteja interessado em trigo. Dessa forma, a troca não poderá ser realizada, uma vez que para isso deve haver interesse de ambas as partes. 

Esse problema foi resolvido com a criação da moeda-mercadoria, geralmente a mais produzida e a mais procurada, que passava a ser aceita, não necessariamente para o consumo, mas para ser trocada novamente. Esta foi a primeira forma de moeda na nossa história. 

Moedas gregas antigas, que circularam entre 400 a.C. e 300 a.C.

Uns usaram o gado, que do latim pecus deu origem à palavra pecúlio, e outros o sal, daí o termo salário. Essa diversificação de moedas-mercadorias em diferentes mercados dificultava as trocas entre os grupos sociais. 

Além disso, um animal vivo ou um balde de sal não eram as melhores formas de 'carregar' dinheiro. 

Problemas como esses fizeram com que se criasse a moeda metálica. Pequena e de fácil transporte, seu poder de compra era equivalente ao valor do material com que era fabricada. Inicialmente utilizou-se a prata e o ouro. 

Contudo, o manuseio dessas moedas fazia com que elas se desgastassem e perdessem seu valor. Então, optou-se por metais como o cobre e o níquel, que até pouco tempo eram sinônimos de dinheiro. 

Paralelamente, foram criadas pequenas firmas que se comprometiam a guardar as moedas. Como prova de recolhimento emitiam um recibo registrando a quantia guardada. Nasciam, portanto, os primeiros 'bancos' e os primeiros papéis-moeda. 

Uma vez que as pessoas que deixavam seu dinheiro guardado não o consumiam imediatamente, os donos dessas firmas resolveram diversificar suas funções emprestando dinheiro, o que mais tarde se constituiria no sistema de crédito. 

Na verdade, dinheiro nada mais é do que uma convenção social, uma relação entre os homens que se dá na troca entre mercadorias. 

A instituição do crédito foi o elemento propulsor do surgimento de um tratamento matemático na Economia. O crescente desenvolvimento das transações comerciais exigia um cálculo específico e o desenvolvimento de um aspecto particular da Matemática: a Matemática Financeira. 

Conceitos fundamentais: capital, juros e taxa de juros
Imagine que Alexandre é um estudante que foi aprovado no vestibular e que seus pais, para presenteá-lo, lhe tenham dado um dinheiro extra para gastar no que quiser. Como já faz algum tempo que ele está pensando em comprar um computador, decide poupar esse dinheiro junto com parte das mesadas e o que recebe por alguns shows da banda em que toca bateria. 

Ele acredita que esse dinheiro que vai guardando pouco a pouco não pode 'ficar parado' e deve ser aplicado em uma instituição financeira. Por isso, visita vários bancos e se informa sobre diversos produtos financeiros, como os fundos de ações e a caderneta de poupança. 

Alexandre percebe que, nas diversas agências em que esteve, lhe perguntaram pelo capital que pretende investir, isto é, a quantidade de dinheiro economizado que ele vai aplicar e o tempo em que esse dinheiro vai ficar aplicado. É informada a taxa de juros correspondente à aplicação. Alexandre, ao final de cada mês, também receberá um extrato demonstrativo, fornecendo o montante de sua aplicação, isto é, seu saldo. Depois de um dia em visita aos bancos, o rapaz resolve pesquisar o que significavam tantos termos novos. Sua pesquisa começou por entender o que significava juros. 

Por essa abstinência, a pessoa que emprestou recebe um 'prêmio', o que em finanças recebe o nome de juros. 

Assim, podemos denominar juro como 'prêmio', ou pagamento pelo uso de uma quantidade de dinheiro por um período determinado de tempo. A esta quantidade de dinheiro que é transacionada damos o nome de capital ou principal. O valor do 'prêmio', ou do juro pago nessa transação, depende da taxa de juro, que é um coeficiente, geralmente dado em porcentagem, que diz respeito a um dado intervalo de tempo. 

Como se sabe, usamos em Matemática o chamado linguajar matemático para nos expressar de forma inconfundível e compreensível para todos. Em Matemática Financeira também usamos este linguajar matemático. 

Bolsa de Valores, onde se realizam as operações financeiras que direcionam muitas atividades econômicas

É importante ressaltar que a taxa de juro, i, e o período de aplicação, n, devem estar na mesma unidade de tempo. 

Assim, se a taxa de juro for de 5% a.m. (ao mês), o período também deve estar em meses. 

Do que foi dito, podemos expressar matematicamente o cálculo do montante e do juro da seguinte forma: 

Suponhamos, agora, que Alexandre empregue 300 reais num investimento com taxa de juros igual a 3% a.m. Vamos calcular o juro e o montante no final de um mês de aplicação. Para isso devemos, inicialmente, transformar a taxa de juros da forma percentual para a forma unitária: 

Agora podemos calcular: 

J   = 300 X 0,03 = 9
M  = 300 + 9 = 309 

Isto significa que, ao final de um mês, o capital que Alexandre aplicou renderá 9 reais e o montante, isto é, o saldo de sua aplicação será de 309 reais. 

Regimes de capitalização
Ao aplicarmos um capital por um determinado tempo, a uma determinada taxa de juros, o montante pode crescer segundo dois regimes: os juros simples e os juros compostos. 

Juros simples 

Se os juros, nos vários períodos, forem calculados sempre sobre o valor do capital inicialmente empregado, diremos que a capitalização é feita no regime de juros simples. Nesse tipo de capitalização somente o capital inicial rende juros. 

Considerando esta série de circunstâncias e aplicando a expressão Matemática que já conhecemos para o cálculo do juro e do montante, o juro total e o montante, ao fim do período n, seriam o seguinte: 

Prosseguindo com o exercício anterior, se os 300 reais ficassem aplicados a juros simples de 3% a.m. por 3 meses, o juro e montante seriam calculados da seguinte forma: 

Os juros, no final do período, seriam de 9 X 3 = 27 reais e o montante seria: 

Aplicando-se a fórmula obteríamos diretamente: 

Juros compostos 

Esse tipo de capitalização é o que mais se verifica no mercado financeiro. 

Para lembrar:

Vejamos agora, passo a passo, como obter uma expressão geral que nos facilite o cálculo do capital acumulado ao fim de um período igual a n anos, a partir de um capital inicial C investido num banco a uma taxa de juros i, com juro composto. 

Devemos considerar que o capital aumenta ano a ano com o acréscimo dos juros gerados. 

•	Primeiro ano:
	Capital inicial Juros produzidos Capital final 1	C C X i C + C X i = C X (1+ i) = C1
•	Segundo ano:
	Capital inicial Juros produzidos Capital final 2	C1 C1 X i C1 + C1 X i = C1 X (1 + i) = C X (1 + i)2 = C2
•	Terceiro ano:
	Capital inicial Juros produzidos Capital final 3	C2 C2 X i C2 + C2 X i = C2 X (1 + i) = C X (1 + i)3 = C3
•	Quarto ano:
	Capital inicial Juros produzidos Capital final 4	C3 C3 X i C3 + C3 X i = C3 X (1 + i) = C X (1 + i)4 = C4

Assim, podemos prosseguir até o ano n, onde o capital acumulado Cn  seria dado pela expressão: 

Podemos substituir Cn  por M, uma vez que se refere ao montante. 

Observe que o valor do capital final de cada ano é obtido multiplicando-se o capital do ano anterior por uma quantia constante, que chamamos (1 + i). 

Veja também que os valores adquiridos pelo referido capital a cada ano formam uma progressão geométrica  de razão (1 + i). 

Imagine agora que Alexandre tenha depositado sua quantia numa aplicação que rende juros compostos de 3% a.m. e que ele deixe aplicado sem efetuar retiradas por 3 meses seguidos. 

No final do primeiro mês os juros serão de 300 X 0,03 = 9 reais e o capital final 1 será de 309 reais. 

No final do segundo mês os juros serão de 309 X 0,03 = 9,27 reais e o capital final 2 será de 309 + 309,27 = 318,27. 

No final do terceiro, os juros serão de 318,27 X 0,03 = 9,5481 e o montante, no final do período de aplicação, será de 318,27 + 9,5481 = 327,8181 reais. 

Aplicando-se a fórmula teremos: 

Taxa de juros nominais e reais 

Estes dois termos são muito comuns em noticiários e textos econômicos. 

O dragão da inflação devora os rendimentos da poupança

Quando aplicamos, por exemplo, 100 reais e no final do prazo de aplicação recebemos 150 reais, podemos dizer que a taxa nominal de juros foi de 50%.Assim, por taxa de juros nominais entendemos o porcentual correspondente a toda remuneração do capital. Suponhamos agora que nesse mesmo período de capitalização, a inflação tenha sido de 30%. Teremos, então, a taxa de juros reais de aproximadamente 15,38%. 

Assim, taxa de juros reais, ou ganho real, é o percentual correspondente à diferença entre a taxa nominal e qualquer índice que sirva como referência de desvalorização da moeda, como é o caso da inflação. Utilizemos mais um pouco a linguagem matemática para deixar estes cálculos mais claros: 

Quando aplicamos um capital C por um período de tempo a uma certa taxa nominal i, obteremos como montante nominal M₁ = C X (1 + i). 

Considerando-se agora que no mesmo período houve uma taxa de desvalorização da moeda igual a j, o capital corrigido por esta taxa acarretaria um montante final de M₂ = C X (1 + j). 

A taxa de juros real, que indicaremos por r, será aquela que levará o valor de M₂ a M₁. Isto é: 

O que nos dá: 

Assim: 

Vamos conferir o caso acima: 

Logo, r = 0,1538 que na forma percentual nos dá 15,38%. 

Observe que: 

Quando i = j, teremos r = 0; ou seja, a taxa real é nula.
Se i < j, teremos r < 0; ou seja, a taxa real é negativa.
Se i > j, teremos r > 0; a taxa de juros é positiva. 

Anuidades de capitalização 

Uma das operações mais comuns no sistema financeiro é a capitalização: tipo de aplicação em que se objetiva formar um montante numa data futura. 

Assim, chamamos de anuidades  de capitalização as quantias iguais pagas a uma instituição financeira ao princípio de cada ano com a finalidade de constituir, ao fim de certo número de anos, juntamente com os juros compostos, um determinado capital. 

O montante do capital final, transcorridos os anos, acertado entre o cliente e a instituição financeira, pode ser calculado pela expressão: 

em que o valor da parcela constante paga em cada anuidade é representado por R; a taxa de juros anual expressa na forma unitária é representada por i; n é o número de anos; e M é o montante final determinado. 

Da expressão anterior podemos deduzir a fórmula que permite calcular o valor de cada anuidade para uma capitalização concreta: 

Capitalizações em períodos inferiores a um ano 

Em nosso dia-a-dia, o uso de anuidades não é tão comum quanto o contrato com períodos inferiores a um ano. 

Assim, o mais habitual é que os vencimentos de um empréstimo tenham uma periodicidade mensal, trimestral ou semestral. 

Os empréstimos podem ser pagos em parcelas mensais, trimestrais ou semestrais

Agora interpretaremos n, que nos indicava o número de anos, como o número de vencimentos. 

Além disso, teremos de dividir i pelo número de vencimentos anuais para saber qual o juro mensal, trimestral ou semestral, conforme o caso. 

Assim, se o vencimento for semestral, o valor de n será 2 (um ano tem 2 semestres) e a taxa de juros na forma unitária será o resultado da divisão i/n, neste caso, i/2. 

Da mesma forma, podemos realizar nossos cálculos se o vencimento for trimestral (um ano tem 4 trimestres), onde n = 4, ou mensal (um ano igual a 12 meses), com n  = 12.