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Definição
No século XVII, o desenvolvimento da produção e do comércio impôs ao homem uma grande necessidade de trabalhar com tabelas numéricas.
O matemático inglês Arthur Cayley (1821-1895) aprofundou os estudos desses tipos de tabelas, e foi um dos primeiros a estudar e aplicar as matrizes em estruturas algébricas. Isto permitiu um grande desenvolvimento da Matemática.
Contudo, foram os chineses os grandes inventores das matrizes. Uma importante obra chinesa, escrita por volta de 250 a.C., intitulada 'Nove Capítulos sobre a Arte Matemática', nos mostra que os chineses, na solução de sistemas de equações, já utilizavam a ideia de matrizes.
 Qualquer sistema fica perfeitamente definido a partir dos coeficientes das incógnitas e de seus termos independentes. Por isso, omitindo as incógnitas, ficamos com um esqueleto numérico. Observe o exemplo:
Chamamos de matriz numérica a uma tabela de números, isto é, um conjunto de números colocados em linhas (horizontais) e em colunas (verticais). Entretanto, nem sempre ela será formada por números, podendo aparecer com funções ou outras expressões matemáticas.
Em geral, denominaremos matriz de ordem mxn (lê-se m por n) a uma tabela de números formada por m linhas e n colunas. As tabelas de números são escritas entre parênteses e são designadas por letras maiúsculas.
Assim, a matriz A é de ordem 5 x 3 (lê-se 5 por 3) e a matriz B de ordem 3 x 4.
Quando precisarmos expressar uma matriz qualquer, indicaremos cada um de seus elementos por uma letra minúscula com subíndices que indicam a posição do elemento dentro da matriz. O primeiro número do subíndice indica a linha e o segundo número indica a coluna em que se encontra o elemento.
Assim, a23 é o elemento de uma matriz que está na linha 2 e coluna 3.
A tabela ao lado, por exemplo, representa uma matriz qualquer de ordem 3 x 4.
Podemos também expressar a matriz A, acima, de forma abreviada com a seguinte simbologia:
| A = (aij); i = 1, 2, 3; e j = 1, 2, 3, 4 |
Como vimos: i indica a linha e j assinala a coluna.
Matrizes especiais
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Quando uma matriz tem apenas uma linha, é chamada matriz linha. Sua ordem será 1 x n. |
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Quando uma matriz tem apenas uma coluna, denomina-se matriz coluna. Sua ordem será m x 1, como indica a tabela abaixo. |
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Como as matrizes são tabelas de números, podemos nos deparar com uma matriz na qual todos os componentes sejam nulos. Elas são conhecidas como matrizes nulas, por exemplo: |
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Por último, falaremos das matrizes transpostas. Diz-se que uma matriz é a transposta de A quando as linhas da transposta são as colunas de A. A matriz transposta de A é representada por A' ou At. Observe o seguinte exemplo: |
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Pode ocorrer também que a matriz tenha um mesmo número de linhas e colunas. Estas são chamadas de matrizes quadradas de ordem n, em vez de matrizes de ordem n x n. |
Nessas matrizes, os elementos da forma aij, como a11, a22, a33 etc., formam o que se conhece como diagonal principal.
Assim, nas matrizes quadradas, abaixo, suas diagonais principais serão formadas, respectivamente, pelos elementos 7; 5, 3; 5, 9, 3; e 4, 1, 4, 3:
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Dentro das matrizes quadradas cabe destacar aquelas que possuem todos os elementos nulos, com exceção dos correspondentes à diagonal principal. São conhecidas como matrizes diagonais.
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Numa matriz diagonal, quando todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1, essa matriz receberá o nome de matriz identidade. Exemplificamos esse caso, em seguida, com matrizes quadradas de ordem 4. |
Operações com matrizes
Soma de matrizes
Dadas as matrizes A e B de mesma ordem, definimos a operação soma de matrizes, A + B, como a nova matriz C que tem como elemento cij, na posição ij, a soma dos elementos aij + bij. Em outras palavras, todos os elementos da nova matriz C são obtidos aplicando-se a seguinte expressão:
A soma de matrizes possui, assim como a soma de números, as seguintes propriedades:
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Propriedade associativa: A + (B + C) = (A + B) + C. |
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Elemento neutro: é a matriz nula (0) correspondente. |
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Elemento oposto: a matriz A tem por oposta –A, em que, se a A = (aij), então –A = ( aij). |
Produto de uma matriz por um número
Se tivermos um número Real k e uma matriz A = (aij) qualquer, definiremos o produto k X A como a matriz que tem por componentes os elementos de A multiplicados por k, o que é o mesmo que
k X A = (k X aij).
Tomando as matrizes do exemplo anterior, vamos efetuar as seguintes operações:
Um caso particular é o produto de: (1) XA = A.
Com este produto obtém-se a matriz oposta A para qualquer matriz A.
Produto de matrizes
Dois medicamentos W e Z, de 20 mg cada, são produzidos a partir de três substâncias misturadas em quantidades diferentes.
Ricardo, o farmacêutico responsável pelas fórmulas, possui em seu computador a seguinte planilha:
| Medicamentos: |
W |
Z |
| Componente 1 |
10 mg |
16 mg |
| Componente 2 |
3 mg |
0 mg |
| Componente 3 |
7 mg |
4 mg |
Ao final de cada bimestre, Ricardo contabiliza o custo da produção de cada medicamento. Para isso, ele produz uma outra planilha em que registra o preço, em reais, de cada componente, dado em miligramas, em cada mês, como no exemplo:
Janeiro /Fevereiro
Componente 1:
0,2
0,22
Componente 2:
0,3
0,1
Componente 3:
1,5
1,6
Combinando essas duas planilhas, Ricardo produz uma planilha-resultado que dá o custo de cada medicamento por mês:
Janeiro /Fevereiro
Medicamento W:
10 X 0,2 + 3 X 0,3 + 7 X 1,5 = 13,4
10 X 0,22 + 3 X 0,1 + 7 X 1,6 = 13,7
Medicamento Z:
16 X 0,2 + 0 X 0,3 + 4 x 1,5 = 9,2
16 X 0,22 + 0 X 0,1 + 4 X 1,6 = 9,92
Como já vimos, uma planilha de computador nada mais é do que uma matriz.
Aplicações como essas são comuns e necessárias. Essa necessidade fez com que os matemáticos definissem esse processo com uma operação entre as matrizes: a multiplicação.
Assim, chamando a primeira planilha de matriz A e a segunda de matriz B, a planilha-resultado, matriz C, é o resultado da multiplicação de A por B.
| A multiplicação de matrizes só pode ser efetuada se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda. Observe que a matriz-produto tem por ordem o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda. |
O produto de uma matriz A de ordem mxn por uma matriz B de ordem nxp é uma matriz C, de ordem mxp, em que o elemento da linha cij é a soma dos produtos da linha i de A pelos elementos correspondentes da coluna j de B.
Dadas as matrizes A, de ordem 2 X 3, e B, de ordem 3 X 3, buscamos a matriz produto A X B, de ordem 2 X 3.
Matriz de uma relação linear
Considerando o que se expôs sobre o produto de matrizes, temos novas perspectivas para expressar qualquer sistema de equações lineares. Observe como se expressa o seguinte sistema de equações por uma igualdade de matrizes:
Assim, se denominarmos A a matriz com os coeficientes; x a matriz coluna das incógnitas; e B a matriz coluna integrada pelos termos independentes, o sistema de equações lineares anterior equivale a uma simples equação entre matrizes da forma: A X x = B
EXERCÍCIOS
| 1. |
Efetuar as operações indicadas com as seguintes matrizes:
a) 4 X A =
b) 4 A 3 B + C / 2 =
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| 2. |
Analise as matrizes A e B e responda às seguintes questões:
a) De que ordem são as matrizes?
b) Podemos multiplicá-las sendo de ordens diferentes?
c) Existe a propriedade comutativa para o produto de matrizes? |
| 3. |
Expressar, em forma matricial, os seguintes sistemas de equações:
a) 3x + 7y 9z = 0
x 4y + 3z = 5
6x + 3y = 9
b) 2x 3y + 6z 3t = 8
x + y + t = 3 |
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