Noção de progressão aritmética
Inicialmente, e usando termos simples, digamos que uma progressão aritmética, ou simplesmente P.A., é uma sucessão de números reais. 

Cada um deles, com exceção do primeiro, é obtido somando-se um valor constante chamado razão, representado por r, ao anterior. 

Tomando a corrida de táxi como exemplo, percebemos que o cálculo do preço de uma corrida, seja qual for o trajeto efetuado, corresponde a uma simples progressão aritmética. 

Assim, se a bandeirada custa 5 reais e o taxímetro marca o preço de 1 em 1 real, teremos uma progressão aritmética com os seguintes números reais: 

com uma razão r = 1 real 

Chegou o momento de utilizar a notação matemática. 

Na expressão matemática, cada número que integra a progressão aritmética recebe o nome de termo da progressão e é representado por letras com índices, tais como: 

Assim, na expressão citada, os índices nos indicam o número de ordem de cada termo dentro da progressão, mas não o seu valor. 

Usaremos também a letra n  para indicar o número de termos existentes na progressão aritmética. 

Considerando essas mudanças feitas na notação, diremos que: 

ou então: 

Cálculo do termo geral
Numa progressão qualquer, se conhecemos o primeiro termo e a razão (r), podemos achar todos os termos restantes. 

O método é simples: partindo de a₁, achamos a₂, bastando que para isto acrescentemos r, e a partir deste, a₃, depois a₄, e assim sucessivamente, até chegarmos ao termo desejado. 

O problema surge quando o termo desejado tem um número de ordem muito elevado e o método torna-se demorado demais. 

Por isso, trata-se de formular uma expressão que, dados o valor do primeiro termo, a razão e o número total de termos que integram a progressão, nos facilite a rápida obtenção de qualquer termo dessa progressão. 

Este termo da progressão é conhecido como termo geral ou enésimo termo. 

Pela definição dada de progressão aritmética, podemos escrever, da seguinte maneira, os termos de qualquer progressão em função do primeiro termo e da razão: 

Deste desenvolvimento deduzimos que o termo geral, representado por an, que nos permitirá calcular qualquer termo de uma progressão sem necessidade de achar todos os termos intermediários, é: 

Sendo: 

Interpolação de termos aritméticos
Em progressões, interpolar termos equivale a intercalar diversos termos entre dois extremos dados, de modo que o resultado seja uma progressão. 

Mostramos, em seguida, através de um exemplo, o método a ser adotado. 

Partimos dos números 2 e 20. Eles representam os dois pólos ou extremos dados, e pretendemos interpolar cinco termos novos de maneira que o resultado seja uma progressão aritmética integrada por sete elementos. 

Para construir uma progressão, precisamos de uma razão entre termos. 

Este valor será obtido isolando-se o r  na expressão do termo geral. 

Assim, da expressão a_n = a₁ + (n – 1) X r, deduzimos que: 

Substituindo nesta expressão cada variável pelos dados de nosso exemplo, obtemos que o valor de r é 3 e a progressão resultante é: 

Como pudemos ver, o método é simples, mas existe o inconveniente de confundir o número de termos a interpolar com o número total de elementos que integram a progressão, que representamos sempre por n. Devemos ficar atentos para não cometer essa confusão. 

Soma dos n primeiros termos da progressão
Até aqui, nos limitamos a entender o que é uma progressão, calcular o valor de seus termos e criar progressões por interpolação. 

Avancemos um pouco mais, procurando descobrir qual a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética. 

A história diz que Carl Friedrich Gauss, também conhecido como 'o Príncipe da Matemática', defrontou-se com esse problema e o resolveu quando tinha apenas 10 anos. 

Figura 1

Seu professor de Matemática colocou para a classe a seguinte questão: 'Quanto é a soma dos 100 primeiros números naturais diferentes de zero?' Ao que Gauss, quase imediatamente, respondeu com acerto. 

Observe como Gauss apresentou a solução deste problema na Figura 1: 

Colocados os números desta maneira, estamos diante de uma progressão aritmética onde
a1= 1 e r = 1. 

Como podemos observar, a soma de elementos eqüidistantes dos extremos é constante. 

Assim, bastou-lhe somar um desses pares, 50 + 51 = 101 e multiplicar o resultado pelo número total de pares, 50, para concluir que a soma dos 100 primeiros números naturais é 5050. 

A partir deste método simples apresentado por Gauss, vamos obter uma expressão geral que nos permita achar a soma (S) dos n primeiros termos de uma progressão aritmética. 

Para tal, vamos escrever uma progressão desde o primeiro termo até o último e depois escrever a mesma progressão invertida, isto é, começando pelo último termo até o primeiro. 

Todos os termos são escritos em função do primeiro e da razão r. 

Observe, agora, o resultado: 

Se somarmos as duas igualdades obtidas, termo a termo, observaremos que o resultado são n parênteses iguais a este: (a₁ + a_n). Lembre-se de que n é o número total de termos da progressão. 

Portanto, é igualmente correto escrever 

2S = (a₁ + a_n) X n 

e, isolando o S, obtemos seu valor: 

Figura 2

E se ainda restar alguma dúvida, observe a ilustração que nos permitirá demonstrá-lo graficamente (Figura 2). 

Na ilustração, representamos uma progressão formada de 5 termos, ou seja, n = 5. 

Cada termo foi representado, diferentemente dos exemplos anteriores, pelo desenho de um retângulo de base a₁, a₂, a₃, a₄ e a₅, respectivamente, e altura 1, isto é, r = 1. 

Depois, representamos a mesma progressão na ordem inversa e encaixamos as duas representações de modo a formar um único retângulo maior. As medidas do novo retângulo são: a₁ + a₅ de base e 5 de altura. 

Em geral, a base é a soma do primeiro e do último termos a₁ + a_n  e a altura corresponde ao número de termos da progressão, n. 

Percebe-se que a área do retângulo maior equivale a duas vezes a soma dos termos das duas progressões que o formam, ou seja, 2S. 

Além disso, sabemos que, para calcular a área de um retângulo, devemos multiplicar o valor de sua base por sua altura. Neste caso, (a₁ + a_n) X n. 

Assim chegamos, por outro procedimento, às mesmas conclusões de Gauss: 

onde