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Podemos relacionar os elementos de vários conjuntos?  No capítulo Conjuntos estudamos as possíveis relações que podem se estabelecer entre os elementos que formam um conjunto. Mas como se estabelece uma relação entre os elementos de um conjunto e os elementos de outro conjunto? A resposta a esta pergunta é dada pelo estudo das relações entre eles. Mas como elas têm uma definição muito ampla, se quisermos uma informação mais precisa sobre as relações que se estabelecem, teremos de impor certas condições. As relações que se ajustarem aos critérios restritivos são as funções.
1. Relação
| | Figura 1 |
Uma relação é qualquer subconjunto do produto cartesiano entre dois conjuntos dados. Em nosso caso, A e B (Figura 1). | | Figura 2a |
Em outras palavras, qualquer subconjunto do produto cartesiano recebe o nome de correspondência (Figuras 2a, 2b e 2c). | | | Figura 2b | Figura 2c |
Todo par ordenado tem um domínio e uma imagem. | | Figura 3 |
No exemplo da Figura 3, A = {1,2,3,4} é o conjunto de partida e B = {a,b,c} é o conjunto de chegada. O conjunto C = {1,2} de elementos de A, que têm imagem, chama-se domínio. O conjunto D = {a,b} de elementos de B, que são homólogos de algum elemento de A, chama-se imagem. 2. Função
Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {a,b,c}, uma função f de A em B é uma relação que associa a cada elemento de A um único elemento de B. Isto é, todos os elementos têm uma e apenas uma imagem.
Se um elemento não tem imagem, não é função (Figuras 4a e 4b).
Esses casos são de funções, pois todos os elementos do conjunto A têm uma única imagem. | | | Figura 4a | Figura 4b |
As relações indicadas nas Figuras 5a e 5b não são funções.
No primeiro caso (Figura 5a), um elemento do conjunto A não tem imagem.
No segundo caso (Figura 5b), há um elemento do conjunto A que tem duas imagens. | | | Figura 5a | Figura 5b |
Portanto, numa função, de todo elemento do conjunto de partida sai uma flecha, e apenas uma, até o conjunto de chegada. Para lembrar: | Numa função, o conjunto de partida é chamado domínio e o conjunto de chegada é chamado contradomínio. |
3. Classes de funções Função injetora | | Figura 6 |
Uma funçãoé injetora sempre que x y f (x) f (y). Em outras palavras, todo elemento do conjunto de chegada tem no máximo um domínio (Figura 6). Função sobrejetora | | Figura 7 |
Uma funçãoé sobrejetora se todo elemento de B é imagem de algum elemento de A. Todos os elementos de B recebem pelo menos uma flecha (Figura 7). Função bijetora | | Figura 8 |
Uma funçãoé bijetora se for simultaneamente injetora e sobrejetora. Todos os elementos do conjunto imagem têm apenas um domínio (Figura 8). Na Figura 9, abaixo, podemos observar o diagrama de inclusão das relações e das funções. | | Figura 9 |
EXERCÍCIOS
| 1. | Interprete o diagrama abaixo, indicando, de acordo com cada caminho seguido pelas setas, a correspondência de que se trata:
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