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Equações de primeiro grau com duas incógnitas
Seja x + y = 8 uma equação linear nas variáveis x e y, em que seu conjunto solução pertence a R X R.
Algumas de suas possíveis soluções são (5, 3); (– 2, 10) e (8, 0).
Observe que não há uma única solução. Na verdade, podemos encontrar um número infinito de soluções para esta equação.
Acompanhe o seguinte exercício: a soma de dois números é 8 e sua diferença é 2. Que números são esses? Se x e y são esses números, as equações serão:
| x + y = 8 (a soma é 8); x– y = 2 (a diferença é 2) |
Esse tipo de situação em que aparece mais de uma equação recebe o nome de sistema de equações.
Podemos observar que essas equações têm uma solução em comum, isto é, que há um par de números (x,y) que fazem cumprir simultaneamente a igualdade numérica nas duas equações. Neste caso é (5, 3).
Para lembrar:
| A solução de um sistema de equações é o conjunto de valores das incógnitas que, substituídas em todas as equações, as transformam em identidades. |
Para lembrar:
| Os sistemas de equações classificam-se em determinados, indeterminados e impossíveis ou incompatíveis, segundo tenham uma única solução, infinitas soluções ou não tenham nenhuma solução, respectivamente. |
Sistema de equações
Um conjunto de m equações com n incógnitas recebe o nome de sistema linear de equações.
A solução do sistema é:
| • |
Um conjunto de pares ordenados, se o sistema tiver duas incógnitas; |
| • |
Um conjunto de ternas ordenadas, se o sistema tiver três incógnitas, e assim sucessivamente. São soluções, simultaneamente, das m equações; isto é, a solução do sistema é a interseção dos conjuntos solução das equações. |
O processo para encontrar a solução de um sistema de equações é conhecido como resolução simultânea.
Sistema de duas equações lineares
Observe que, como a segunda equação só tem o x, podemos isolar a incógnita e achar seu valor.
O valor x = 4 pertence à solução do sistema, pois é a única solução da segunda equação.
Substituímos, agora, x por seu valor (4) na primeira equação do exemplo:
A solução do sistema de equações compõe-se dos valores:
Podemos facilmente comprovar isso substituindo os valores achados no sistema inicial:
3 X 4 – 5 X 2 = 2, do qual obtemos 2 = 2
2 X 4 = 8, do qual obtemos 8 = 8
Métodos de resolução
Existem três métodos para resolver um sistema de equações com duas incógnitas:
| • |
Comparação |
• |
Substituição |
• |
Adição |
É conveniente observar, antes de começar a resolução do sistema por um dos métodos acima, se alguma equação pode ser simplificada, o que facilitará a operação.
Resolução de um sistema de equações por comparação
Esse método consiste em:
| • |
Isolar uma mesma incógnita em cada equação. |
| • |
Igualar as duas expressões. |
| • |
Resolver a equação de primeiro grau assim obtida. |
Resolver, por este método, o seguinte sistema:
| • |
Escolhemos uma das incógnitas, x ou y, isolando-a em ambas as equações. |
Optamos pela incógnita x.
Na primeira equação:
Na segunda equação:
Se a incógnita x pode ser expressa na forma (5 + 2y) e na forma , então essas duas expressões são iguais.
| • |
Portanto, vamos igualar as duas expressões obtidas: |
| • |
Resolvemos agora a equação obtida: |
Para achar o valor da outra incógnita, x, voltamos ao início do exemplo e, em qualquer das expressões onde o x aparece isolado, substituímos o valor de y por (– 1).
Substituímos esse valor na expressão mais simples:
| x = 5 + 2yx = 5 + 2(– 1)x = 5 – 2x = 3 |
Observe que, se fizermos substituição igual de y na outra expressão, o resultado será o mesmo:
Resolução de um sistema de equações por substituição
Esse método consiste em:
| • |
Isolar uma das incógnitas numa das equações. |
| • |
Substituir a expressão do valor desta incógnita na outra equação. |
| • |
Resolver a equação de primeiro grau assim obtida. |
Vamos resolver, por esse método, o mesmo sistema:
| • |
Isolamos uma das incógnitas em uma das equações. Escolhemos a incógnita que for mais fácil de isolar. Se alguma delas tiver coeficiente um, é essa que devemos escolher. Nesse caso, será o x na segunda equação: |
| • |
Substituímos essa expressão do valor de x na outra equação. Substituindo-o por (5 + 2y) na primeira equação, temos: |
| • |
Resolvemos agora a equação obtida: |
Para achar o valor de x, devemos voltar ao início do exemplo e substituir o valor de y na equação
x = 5 + 2y.
| x = 5 + 2(– 1) = 5 – 2 = 3x = 3 |
Também podemos calcular o valor de x substituindo o valor de y em qualquer uma das duas equações iniciais do sistema.
Agora vamos comprovar se essas duas soluções resolvem efetivamente o sistema:
2 (3) + 5(– 1) = 6– 5 = 1
3– 2(– 1) = 3 + 2 = 5 |
Resolução de um sistema de equações por adição
Este método consiste em:
| • |
Multiplicar cada equação pelo número que nos interessa de modo que uma incógnita tenha coeficientes opostos nas duas expressões. |
| • |
Somar as equações do sistema para obter uma outra equação com uma única incógnita. |
| • |
Resolver a equação de primeiro grau assim obtida. |
Devemos considerar que, em muitos casos, para obter as equações equivalentes que nos interessam, temos de multiplicar a primeira equação pelo coeficiente da incógnita que eliminamos na segunda, e a segunda equação pelo coeficiente da mencionada incógnita na primeira.
Vamos resolver, por adição, o mesmo sistema:
| • |
Em primeiro lugar, vamos escolher a incógnita que queremos eliminar; por exemplo, x. A incógnita x tem coeficiente 2 na primeira equação e coeficiente 1 na segunda. |
| • |
Multiplicamos a segunda equação por 2 para obter outra equivalente, na qual a incógnita x apareça com o coeficiente 2: 2x + 4y = 10. |
| • |
Efetuamos a soma: |
Equação com uma incógnita |
Resolvemos a equação obtida:
Substituímos o valor de y em qualquer das duas equações do sistema para conhecer o valor de x:
x – 2y = 5
x = 5+ 2(– 1)x = 5 – 2
x = 3 |
Representação gráfica
Para obter graficamente a solução de um sistema de duas equações de primeiro grau com duas incógnitas, vamos representar graficamente cada equação.
Sabemos que a representação gráfica de uma equação linear é uma reta; portanto, a representação gráfica de duas equações consiste em duas retas que têm as seguintes possibilidades:
| • |
As retas cortam-se em um ponto. |
| • |
As retas coincidem. |
| • |
As retas são paralelas. |
Essas três possibilidades têm interpretações distintas:
| • |
No primeiro caso, o sistema tem exatamente uma solução. O ponto comum, ou de interseção das retas obtidas, é a solução do sistema. |
| • |
No segundo caso, o sistema tem infinitas soluções. |
| • |
No terceiro caso, o sistema não tem solução. |
Devemos observar que este método é apenas aproximado.
Primeiro caso:
Multiplicamos a primeira equação por 5 e obtemos 15x – 10y = 40.
Multiplicamos a segunda equação por 2 e obtemos 4x + 10y = 20.
Somamos agora as duas equações:
| e achamos |
Substituímos o valor de x na segunda equação:
Se representarmos as retas que correspondem a este sistema de equações, elas vão cortar-se num único ponto, cujas coordenadas são dadas pelos valores de x e y que calculamos, isto é, o ordenado
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| Figura 1 |
Dizemos que este sistema é determinado, pois tem uma única solução (Figura 1).
Segundo caso:
Ordenamos o sistema de equações e teremos:
Multiplicamos a primeira equação por 2 e obtemos 4x – 6y = 12.
Multiplicamos a segunda equação por – 1 e obtemos – 4x + 6y = – 12.
Agora somamos as duas equações:
Com esse resultado, observamos imediatamente que as duas equações são equivalentes. Portanto, o sistema de equações pode ser substituído por uma única equação.
Para lembrar:
| Conseqüentemente, uma equação de primeiro grau com duas incógnitas tem infinitas soluções. |
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| Figura 2 |
Se representarmos, de maneira gráfica, as retas que correspondem às equações do sistema, veremos que elas se superpõem, isto é, são a mesma reta.
Portanto, uma reta tem infinitos pontos em comum com ela mesma e o sistema terá infinitas soluções (Figura 2). Dizemos que este sistema é indeterminado, pois tem infinitas soluções.
Terceiro caso:
Multiplicamos a primeira equação por 2 e obtemos 4x – 6y = 24.
Multiplicamos a segunda equação por – 1 e obtemos – 4x + 6y = – 8.
Agora somamos as duas equações:
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| Figura 3 |
Não há nenhum valor de x e y que cumpra esta equação. Portanto, este sistema de equações não tem solução.
Se representarmos graficamente as retas que correspondem às equações desse sistema, veremos que são retas paralelas, isto é, não têm nenhum ponto em comum
(Figura 3).
Dizemos que este sistema é incompatível ou impossível.
Aplicação na resolução de problemas
Muitos problemas podem ser resolvidos por meio de sistemas de equações. Mas antes de fazer a proposição de um problema, devemos lê-lo detidamente e compreender bem o seu enunciado.
Se verificarmos que o problema pode ser resolvido por um sistema de equações, é preciso decidir quais são as incógnitas e como vai se chamar cada uma delas. Recorde que devemos colocar tantas equações quantas incógnitas houver. Uma vez propostas as equações, resolve-se o sistema pelo método que se achar mais adequado.
Uma vez resolvido o problema, devemos verificar se a solução obtida é apropriada, e não se esqueça de que é bom realizar a comprovação com o sistema proposto e com o texto do problema. Também devemos sempre interpretar o resultado.
A soma de dois números é 39 e o primeiro é o dobro do segundo. Quais são os números? Que incógnitas devemos calcular?
Naturalmente, devemos calcular os dois números pedidos. Chamaremos x ao primeiro e y ao segundo.
O enunciado nos diz que sua soma é 39; portanto, x + y = 39. Também, nos diz que o primeiro número é o dobro do segundo, portanto x = 2y.
O sistema proposto será:
Qual método de resolução de sistemas de equações vamos empregar?
Se observarmos bem, na segunda equação a incógnita x está isolada; portanto, o método de substituição parece ser o melhor:
Procuramos agora o valor da outra incógnita:
| x = 2 (13)x = 26 |
| As soluções das incógnitas são os números 26 e 13. |
EXERCÍCIOS
| 1. |
Resolver o seguinte sistema de equações:
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| 2. |
Resolver o seguinte sistema de equações:
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| 3. |
Resolver o seguinte sistema de equações:
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| 4. |
Uma mãe tem o triplo da idade de sua filha. Há dez anos, ela tinha sete vezes a idade da filha. Qual a idade da mãe e da filha? |
| 5. |
Compramos 6 kg de chá e 4 kg de café por um preço total de 16,60 reais. Sabendo que 4 kg de chá mais 2 kg de café custam 9,40 reais, calcular o preço do kg de chá e o de café. |
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