O senso numérico
O senso numérico é o ponto de partida para a criação da linguagem numérica. Trata-se da sensação instintiva que temos das quantidades. Quando um grupo de homens primitivos encontrava um grupo oponente, era o senso numérico que lhe dizia se a hora era de combate ou de fuga, em função da quantidade de rivais em relação a seu grupo. Esse senso não é atributo humano. Faz parte do instinto de todos os animais. A gata mia quando nota a falta de um filhote; o beija-flor abandona o ninho quando percebe que um de seus ovinhos foi mudado de lugar. 

Para lembrar:

  O número
Na vida primitiva, o homem não precisava controlar as quantidades. O senso numérico bastava. 

Com a criação de animais domésticos, no entanto, surgiu o primeiro problema quantitativo para o qual o senso numérico não tinha resposta. 

Os pastores logo perceberam que não bastava saber que no fim do dia deviam voltar muitos animais, já que muitos haviam saído. 

Se a quantidade não fosse conhecida melhor, várias cabeças se perderiam. 

Mas como saber se todos os animais que saíram, voltaram? Como controlar essa variação quantitativa? 

A invenção do número 

Para resolver esse problema, os pastores inventaram a contagem: para cada ovelha que saísse, o pastor colocava uma pedrinha ao lado da cerca. 

Figura 1

Formava-se, então, um pequeno monte de pedras que eram tantas quantas as ovelhas ausentes. Ao retornar com o rebanho, o pastor desfazia este monte, retirando uma pedra para cada ovelha que entrava no cercado. 

Dessa forma, as pedrinhas retiradas do monte seriam as ovelhas presentes, e as que restassem seriam as ausentes. Esse método impedia que a perda de algum animal passasse despercebida e orientava sua procura imediata. Esta é uma forma de relacionar quantidades que os matemáticos chamam de correspondência biunívoca. 

Para lembrar:

Assim, vemos como o homem inventou o número há alguns milhares de anos. 

A linguagem numérica 

Observe que os dois elementos (ovelhas e pedrinhas) estão na natureza sem que um se dê conta da existência do outro. 

Nessa linguagem estão envolvidas a quantidade de ovelhas que precisa ser controlada, a quantidade de pedrinhas usadas para contar e a correspondência biunívoca entre as quantidades de ovelhas e de pedras.Temos, assim, as três fases que constituem a linguagem numérica: 

A evolução destas três fases (a quantidade, o número e o numeral) vai determinar a evolução da linguagem numérica. 

O numeral

Figura 2

Numeral é o elemento usado para contar. Portanto, é a representação do número. 

O homem descobre no corpo a primeira forma de representar os números. Os dedos das mãos e dos pés são os primeiros numerais usados para contar pequenas quantidades(Figura 2). Para quantidades maiores, os povos antigos inventaram seqüências de toques no corpo. 

Para lembrar:

Aos poucos o homem descobriu, fora do seu corpo, elementos que podiam ser usados como numerais. Um destes elementos, como vimos, foram as pedrinhas. 

Por isso, o nome latino de pedra calculus passou a nomear uma importante atividade matemática.Vários outros objetos foram (e ainda são) usados como numerais: cordas (por meio de seus nós) e pedaços de pau (marcas). 

Os símbolos 

Quando inventa os símbolos escritos para expressar idéias, o homem cria a escrita numérica.Os numerais escritos surgem nas civilizações antigas (egípcia, babilônica, chinesa) e se baseiam na repetição de símbolos. Assim, os antigos egípcios escreviam seis, por exemplo, com a repetição do símbolo . 

Ao completar o décimo elemento, tomava-se um outro símbolo para representar o número. Assim, no caso dos egípcios, dez era representado pelo numeral . Esse processo repetia-se indefinidamente. 

Essa escrita era apenas de registro, pois possibilitava, por si mesma, o cálculo das operações matemáticas: adição, multiplicação, divisão e subtração. 

Como multiplicar  por  ? Para fazer esses cálculos, foi preciso criar mecanismos como o ábaco, composto por bolinhas dispostas em ordem vertical. 

Muitos povos criaram várias escritas numéricas diferentes. Os gregos usavam letras do alfabeto como numeral. Os romanos também. Este amplo processo de criação se conclui com a escrita numérica criada pelos hindus, há vários séculos, e divulgada na Europa nos séculos XV, XVI e XVII pelos árabes. Essa linguagem: 

Evolução da escrita numérica hindu.

Outra invenção fundamental da escrita hindu foi o número zero, até então inexistente na maioria das escritas numéricas. 

Para lembrar:

A expansão do campo numérico 

O número natural 

A evolução do número foi determinada pela ampliação dos movimentos quantitativos da natureza que o homem passou a controlar. Assim, para cada novo tipo de movimento quantitativo, criava-se um novo número. 

Com as pedrinhas, o homem passou a dominar o movimento quantitativo mais simples da natureza, em que as quantidades já vêm organizadas em unidades separadas. 

Os animais têm essa característica. São seres com unidade própria, cada um com existência e movimento próprios. 

Por ter como elemento significativo a unidade natural, o número criado para as quantidades discretas recebeu dos matemáticos o nome de número natural. 

O número racional 

O surgimento da propriedade privada criou a necessidade de se lidar com um novo tipo de movimento quantitativo. 

Há cerca de 4.000 anos o faraó egípcio Sesóstris repartiu as terras férteis da margem do rio Nilo em porções iguais e cedeu, para cada família, um lote. Mas existia um problema. O rio transbordava e acabava com as marcas dos lotes. Como saber a quantidade de terra de cada proprietário? 

A quantidade de terra não vem organizada em unidades naturais, como no caso dos animais. Não é uma quantidade discreta. É contínua. O problema que os egípcios enfrentaram foi como controlá-la. 

Para resolver esse problema, inventaram a medição. Ela tem como elemento a criação de unidades artificiais para se contar uma quantidade contínua, já que esta não vem organizada em unidades naturais. 

Para lembrar:

Figura 3
Figura 4
Figura 5

Como organizar esses elementos do terreno em unidades que possam ser contadas? Os egípcios dividiram as porções de terra na forma de retângulos, com a largura e o comprimento que os caracterizam (Figura 3). Para tanto: 

•	Tomavam um comprimento menore verificavam quantas vezes ele aparecia em cada comprimento que se queria contar (Figuras 4 e 5).
•	As primeiras unidades artificiais eram elementos do corpo humano.

Figura 6

Quando a medição resultava num número exato de unidades de medida, era pura sorte. Contudo, o mais comum era sobrar um pedaço. 

Surgiu, assim, um novo problema: como medir uma quantidade de terra menor que a unidade do faraó? 

•	Pegava-se a unidade do faraó:  e o comprimento que sobrava:
•	Quebrava-se a unidade do faraó em subunidades até encontrar aquela que se ajustasse à sobra.

Se tivessem de quebrar a unidade do faraó em quatro, diziam que a sobra media uma unidade menor, resultante da unidade do faraó dividida em quatro partes.
Como registrar esta nova medição tão flexível? 

Os matemáticos inventaram um numeral: 

•	Fizeram um traço horizontal .
•	Sob o traço escreveram em quantas vezes a unidade foi quebrada; ou seja, em quantas subunidades. No caso, ela foi quebrada em quatro, o que resultaria .
•	Sobre o traço escreveram quantas destas subunidades couberam na sobra. No caso, uma: .

Houve uma expansão do campo numérico das quantidades discretas para as contínuas, do número natural para o racional. As contínuas incluem as discretas, pois estas são um caso particular daquelas. Da mesma forma, o número racional contém o número natural, sendo este um caso particular no qual a medição com a unidade escolhida não apresenta sobra. 

O número inteiro 

A partir dos séculos XV e XVI, as grandes mudanças no modo de vida fizeram o homem atuar e produzir com quantidades contrárias: dinheiro gasto e ganho, mercadoria vendida e estocada. Surgiu o movimento de quantidades contrárias, e os comerciantes desse período foram os grandes criadores da Matemática. 

Temos, assim, uma nova expansão do campo numérico: o número inteiro. 

O número real 

Quando criaram o número racional, os matemáticos acharam que tinham domado as quantidades contínuas. Pitágoras (matemático grego do século VI a.C.) e seus discípulos conclamaram: 'Tudo é número. Tudo pode ser medido!'. No entanto, a principal produção teórica desta escola, o Teorema de Pitágoras, demonstrava o erro da segunda afirmação. 

Figura 7

O número é impossível de ser escrito na forma de uma razão; isto é, é impossível tomar a unidade, quebrá-la em subunidades e identificar quantas cabem na hipotenusa. Ou seja, a medição dessa hipotenusa é impossível nos números racionais. Ela existe: é possível vê-la, mas é impossível representar sua medida com um número racional (Figura 7). 

Com esse teorema, os pensadores concluíram que o campo numérico não cobria a continuidade das quantidades, variações infinitamente pequenas que escapam da razão. 

Concluíram daí que o campo racional é descontínuo. Incapacitada de resolver esta contradição, a matemática grega abandonou o número, proclamando-o uma imperfeição. 

Figura 8

Desenvolveram-se assim, os três horrores: ao número, ao infinito e ao movimento. Eles predominaram por séculos, travando a evolução numérica. 

Com o desenvolvimento, nos séculos XVIII e XIX, da Física, da Química e da Biologia, o homem passou a trabalhar com o movimento e com as quantidades infinitamente pequenas. 

Era preciso, então, abandonar os horrores. Mas, para isso, tiveram de resolver o problema pendente com a crise da escola pitagórica: como superar a descontinuidade do campo racional e numeralizar as variações infinitamente pequenas que escapam à medição? 

A solução matemática foi desenvolvida pelos alemães Dedekind (1831 a 1916) e Cantor (1829 a 1920). Eles estabeleceram que, realmente, a continuidade das quantidades não era coberta pelo campo Racional, mas isto não significava que os pontos de descontinuidade não fossem números. 

Seriam números, mas de outro tipo, que não podem ser expressos por razões: seriam os números Irracionais. A continuidade acontece pela união do campo numérico Racional com o Irracional. Dessa união resulta o número Real. 

Houve uma expansão do campo numérico das quantidades descontínuas para as contínuas, do número Racional para o número Real. Dessa forma, o campo numérico Real contém os campos numéricos Natural, inteiro, Racional e Irracional. 

  Os conjuntos numéricos
A expansão contínua do campo numérico chegou, no final do século XIX, de forma totalmente desordenada. Os matemáticos estruturaram, então, uma teoria de conjuntos numéricos que, de certa forma, seguiu a lógica do processo histórico de criação do número. 

O conjunto dos números naturais N 

O mais simples. Por ser um conjunto discreto, pode ter uma representação explícita:
N  = {0, 1, 2, 3, 4, 5...} 

Sua representação na reta é feita de forma direta: 

O conjunto dos números inteiros Z 

É o que resulta da expansão de N  na integração dos números negativos. Por ser um conjunto discreto, pode ter representação explícita: Z= ... ­3, ­2, ­1, 0, 1, 2, 3,...}. 

Na reta, é semelhante a N, ocupando-a também à esquerda de zero: 

O conjunto dos números racionais Q 

É a expansão do conjunto Z, na qual o campo numérico passa a ocupar a parte racional da continuidade. 

Por não ocupá-la completamente, é considerado um conjunto denso, sem representação explícita. Pode existir na reta, desde que se indiquem os espaços vazios da descontinuidade, que correspondem aos números irracionais, também à esquerda de zero: 

O conjunto dos números reais R 

É a expansão do conjunto Q  na qual o campo numérico passa a ocupar toda a continuidade, graças à união dos campos racional e irracional. Por se tratar de um conjunto contínuo, não tem representação explícita. É um conjunto numérico que ocupa todos os pontos da reta, também à esquerda de zero: