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Como 'contar' o infinitamente pequeno?
 Tadeu trabalha na manutenção de máquinas de uma fábrica. Muitas vezes ele vai medir o diâmetro de um rolamento num medidor eletrônico com precisão até a sexta casa decimal (milionésimos), obtendo, por exemplo, 0,056373 milionésimo. Ele percebe, contudo, que o último algarismo do mostrador não se fixa no 3, variando entre 3 e 4. Recorre, então, a um medidor com sete casas decimais. O mostrador indica 0,0563738 milionésimo e, novamente, o último algarismo fica variando entre 8 e 9, o que o deixa intrigado. Uma explicação para fenômenos desse tipo foi dada pelos matemáticos gregos há mais de 2 mil anos, com base no Teorema de Pitágoras: 'Existem quantidades contínuas, como alguns comprimentos impossíveis de serem medidos'. Referem-se às quantidades dos números que não podem ser escritos na forma de razões ou decimais exatos ou, ainda, de dízimas periódicas. São os números Irracionais. A partir do conjunto N dos números Naturais, vão se construindo, por sucessivas ampliações, o conjunto Z (Inteiros) e o conjunto Q (Racionais), obtendo-se, finalmente, o conjunto R dos números Reais como união dos números Racionais e dos Irracionais. Muito tempo depois de compreenderem a existência de quantidades incomensuráveis, os sábios gregos ainda não se preocupavam em representá-las por um símbolo particular e operar com este de maneira 'normal'. Durante a Idade Média, o número Irracional era representado por uma letra que tinha a aparência de um 'r' deformado. São exemplos de números Irracionais:,.
» Um novo tipo de número: os Irracionais
» Situação dos números Irracionais sobre a reta
» Ordenação dos números Reais
» Expressão aproximada dos números Reais
» Operações com números Reais
» Valor absoluto
Um novo tipo de número: os Irracionais
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| Figura 1 |
Para explicar o conceito de número Irracional, apresentamos o seguinte exemplo:
Considere um triângulo retângulo cujos catetos sejam iguais a 1 (Figura 1).
O Teorema de Pitágoras nos diz que h2 = 12 + 12 = 2, portanto, podemos expressar que:
Vamos comprovar agora que, embora a fórmula expresse uma distância real, facilmente representável na reta,não é um número Racional.
Esta afirmação é demonstrada pela teoria da redução ao absurdo.
Sefosse um número Racional, poderíamos escrevê-lo em forma de fração:
Sendoirredutível, a e b são primos entre si e Inteiros.
Observe, agora, como chegamos a uma contradição:
| ;daí |
Elevamos os termos da igualdade à segunda potência e obtemos:
Segundo essa expressão, a2 é par, pois é igual a um número Inteiro multiplicado por 2.
Se a2 é par, a também é, porque o quadrado de um número par é sempre outro número par.
Se a é um número par, podemos escrevê-lo como:
Se elevamos a expressão ao quadrado, ficamos com
E se depois substituímos a2 por b2 X 2, obtemos
Com o que chegaremos, finalmente, a
Segundo este raciocínio, b é par. Recorde que dissemos que a também é.
Mas a hipótese inicial nos diz queé irredutível.
Portanto, chegamos a uma contradição.
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| Os matemáticos gregos utilizaram o número de ouro () para calcular as dimensões ('secção áurea' ou 'retângulo de ouro') do Partenon de Atenas |
Para numeralizar as quantidades contínuas que não podem ser representadas por um número Racional, os matemáticos criaram os números Irracionais.
Para lembrar:
| Os números Irracionais possuem infinitos algarismos decimais não-periódicos. |
Números Irracionais célebres
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Radicias: a raiz quadrada de um número Natural, se não é inteira, é Irracional. |
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O número: 3,141592653... |
| • |
O número e: 2,718... (muito importante em matemática avançada). |
| • |
O número de ouro |
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| Figura 2 |
Figura 3 |
Situação dos números Irracionais sobre a reta
O Teorema de Pitágoras nos permite situar sobre a reta todas as distâncias representadas por(Figuras 2 e 3).
O conjunto dos números Reais R
Ao conjunto formado pelos números Irracionais e pelos números Racionais chamamos de conjunto dos números Reais. Ele será designado pela letra R.
Para lembrar:
| Ao unirmos o conjunto dos números Irracionais com o conjunto dos números Racionais, formando o conjunto dos números Reais, todas as distâncias representadas por eles sobre uma reta preenchem-na por completo; isto é, ocupam todos os seus pontos. |
Por isso, essa reta é denominada reta Real (Figura 4).
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| Figura 4 |
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Podemos concluir que na representação dos números Reais sobre uma reta, dados uma origem e uma unidade, a cada ponto da reta corresponde um número Real e a cada número Real corresponde um ponto na reta (Figura 5).
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| Figura 5 |
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Ordenação dos números Reais
A representação dos números Reais permite definir umarelação de ordementre eles. Os números Reais positivos são maiores que zero e os negativos, menores.
Expressamos a relação de ordem da seguinte maneira:
Dados dois números Reais a e b,
- 15 5 5 - (-15) 0
5 + 15 0 |
Propriedades da relação de ordem
Reflexiva: a a
Transitiva: a b e b c a c
Anti-simétrica: a b e b a a = b
Ordem total: a < b ou b < a ou a = b
Expressão aproximada dos números Reais
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| Figura 6 |
Como já sabemos, os números Irracionais possuem infinitos algarismos decimais não-periódicos. As operações com esta classe de números sempre produzem erros quando não se utilizam todos os algarismos decimais. Por outro lado, é impossível utilizar todos eles nos cálculos.
Por isso, somos obrigados a usar aproximações, isto é, cortamos o decimal em algum lugar e desprezamos os algarismos restantes. Os algarismos escolhidos serão uma aproximação do número Real.
Observe como tomamos a aproximação dee do númeronas tabelas das Figuras 6 e 7.
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Aproximação por |
| Falta |
Excesso |
| Erro menor que |
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| 1 unidade |
1 |
3 |
2 |
4 |
| 1 décimo |
1,4 |
3,1 |
1,5 |
3,2 |
| 1 centésimo |
1,41 |
3,14 |
1,42 |
3,15 |
| 1 milésimo |
1,414 |
3,141 |
1,415 |
3,142 |
| 1 décimo de milésimo |
1,4142 |
3,1415 |
1,4134 |
3,1416 |
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Operações com números Reais
Operando com as aproximações, obtemos uma sucessão de intervalos fixos que determinam um número Real. É assim que vamos trabalhar as operações adição, subtração, multiplicação e divisão.
Relacionamos, em seguida, uma série de recomendações úteis para operar com números Reais:
| • |
Vamos tomar a aproximação por falta. |
| • |
Se quisermos ter uma idéia do erro cometido, escolhemos o mesmo número de casas decimais em ambos os números. |
| • |
Se utilizamos uma calculadora, devemos usar a aproximação máxima admitida pela máquina (o maior número de casas decimais). |
| • |
Quando operamos com números Reais, devemos fazer constar o erro de aproximação ou o número de casas decimais. |
| • |
É importante adquirirmos a idéia de aproximação em função da necessidade. Por exemplo, para desenhar o projeto de uma casa, basta tomar medidas com um erro de centésimo. |
| • |
Em geral, para obter uma aproximação de n casas decimais, devemos trabalhar com números Reais aproximados, isto é, com n + 1 casas decimais. |
Para colocar em prática o que foi exposto, vamos fazer as quatro operações indicadas: adição, subtração, multiplicação e divisão com dois números Irracionais (tabela da Figura 8).
Valor absoluto
Como vimos, o erro pode ser:
| • |
Por excesso: neste caso, consideramos o erro positivo. |
| • |
Por falta: neste caso, consideramos o erro negativo. |
Quando o erro é dado sem sinal, diz-se que está dado em valor absoluto. O valor absoluto de um número a é designado por |a| e coincide com o número positivo, se for positivo, e com seu oposto, se for negativo.
Um livro nos custou 8,50 reais. Pagamos com uma nota de 10 reais. Se nos devolve 1,60 real de troco, o vendedor cometeu um erro de +10 centavos. Ao contrário, se nos devolve 1,40 real, o erro cometido é de 10 centavos.
EXERCÍCIOS
| 1. |
Efetuar as seguintes operações com números Reais:
a) 13,18 (125,001) + ( 5,875)
b) 13,18 + 125,001 + ( 5,875) |
| 2. |
Calcular os seguintes produtos e aproximar o resultado final em décimo de milésimos:
a) 3,15 X 0,0045
b) 2,02 X 2,002
c) 8,375 ÷ 5,76
d) 1,1 ÷ 1,011 |
| 3. |
Efetuar as operações seguintes conforme o procedimento estudado neste capítulo e indicar o erro cometido:
a) 5,000... + 6,999...
b) 0,555... + 0,333... |
| 4. |
Achar um número compreendido entre |
| 5. |
Arquimedes expressou o célebre número Irracionalcom a fração.Comparar este valor com o valor atual conhecido,
= 3,141592653, e indicar o erro cometido. |
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