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Conceito de número Natural
Observe os dois conjuntos da Figura 1, ao lado. Cada elemento do conjunto A está em correspondência biunívoca com outro elemento do conjunto B.  | | Figura 1 |
| Isto significa que para cada elemento de A corresponde um único elemento de B, e vice-versa. Dois conjuntos têm o mesmo número de elementos quando é possível estabelecer uma correspondência biunívoca entre eles. |
Assim, podemos classificar os conjuntos da seguinte forma: | Conjunto de um elemento {•} | | Conjunto de dois elementos {• •} | | Conjunto de três elementos {• • •} | | .... |
Cada classe corresponde-se com seu número Natural, assim: | 1 = Classe de conjuntos {•} | | 2 = Classe de conjuntos {• •} | | 3 = Classe de conjuntos {• • •} |
Os números Naturais surgem como propriedades dos conjuntos. Sistemas de numeração
O mais usado em nossos dias é o indo-arábico, que tem base decimal e é de caráter posicional (Figura 2, abaixo). Os símbolos usados para representar qualquer número nesse sistema são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. | | Figura 2 |
Características do sistema indo-arábico | • | É posicional: o valor de cada algarismo é definido em função da posição que ele ocupa na expressão do número. | | • | É aditivo: o número representado por uma série de símbolos é a soma de seus valores posicionais (Figura 3, abaixo). |
| | Figura 3 |
Sistema de numeração romano Atualmente, o sistema de numeração romano só aparece em determinadas situações: | • | Nos capítulos dos livros. | | • | Para indicar os anos e os séculos. | | • | Em alguns mostradores de relógios. |
Como sistema que faz parte de nossa História, é importante conhecer o seu funcionamento e os símbolos usados em sua representação: I = um
C = cem | V = cinco
D = quinhentos | X = dez
M = mil | L = cinqüenta |
Regras para o uso da numeração romana | • | Uma mesma letra só pode ser repetida três vezes seguidas, com exceção de V, L e D, que só podem ser escritas uma vez. |
| III = 3; XXX = 30; CCC = 300; MMM = 3 000 |
| • | Uma letra escrita à esquerda de outra, de maior valor, é subtraída deste valor: |
| IX = 9; XL = 40; XC = 90; CD = 400 |
| • | Uma letra colocada à direita de outra, de maior valor, é somada a seu valor: |
| LXXX = 80; DCCC = 800; ML = 1 050 |
| • | Uma barra colocada em cima de uma letra multiplica seu valor por mil: |
| DXXXIV = oito mil quinhentos e trinta e quatro |
Operações com números Naturais
Adição de números Naturais É uma operação direta ou de composição. Seu objetivo é reunir em um só os valores de vários números. | Os números cujos valores devem ser reunidos são denominados parcelas. A operação é indicada pelo sinal + (mais), que é colocado entre os números. |
Veja o exemplo: 264 + 1 349 = 1 613 (Figuras 4a e 4b, abaixo): | | | Figura 4a | Figura 4b |
Propriedades da adição de números Naturais | • | Propriedade do fechamento: a adição é uma operação fechada em N. Isto significa que a adição de dois números Naturais é sempre um número Natural. | | • | Propriedade comutativa: se a e b são dois números Naturais, então, a ordem em que forem colocados ao se efetuar a adição não altera o resultado. Assim: |
| • | Propriedade associativa: se a, b e c são três números Naturais, o agrupamento que fizermos deles não alterará o resultado da soma: |
| [a + b] + c = a + [b + c] |
[3 + 2] + 5 = 3 + [2 + 5]
5 + 5 = 3 + 7
10 = 10 |
| • | Elemento neutro: a adição tem um elemento neutro, o zero. Isto significa que para todo número Natural se verifica: |
Ordem dos números Naturais Sempre que tivermos dois números Naturais a e b, diremos que a é menor ou igual a b, se existir um número Natural c tal que: | 23, pois 2 + 1 = 3 |
Tivemos de somar c = 1 ao número a = 2 para obter o número b = 3. Subtração de números Naturais Vamos primeiro ver o seguinte problema: se conhecemos a soma de dois números Naturais e também um desses números, podemos achar o outro? A resposta nos leva à subtração de números Naturais. Nós a definiremos da seguinte maneira: se temos dois números Naturais a e b, com b a, devemos encontrar um número Natural c tal que: a é o minuendo; b é o subtraendo;
c é a diferença e a escrevemos c = a b
– é o sinal que expressa a diferença | No entanto, devemos considerar que a subtração de números Naturais nem sempre é possível. Quando o subtraendo é maior que o minuendo, não temos solução no conjunto dos números Naturais. |
5 – 7 N Algoritmo da subtração | | Figura 5a | | | Figura 5b |
Na Figura 5a e Figura 5 b, acima, vamos verificar o algoritmo da subtração, calculando:4 365 493: Multiplicação de números Naturais Podemos interpretar a multiplicação como uma soma de parcelas iguais. O número repetido chama-se multiplicando e o número de vezes que o repetimos, multiplicador. | b X a = | a + a + a + ...
| | | b vezes | | 3 X 7 = 7 + 7 + 7 = 21 |
Para lembrar: | Também podemos expressar a multiplicação como o número de elementos doproduto cartesianode dois conjuntos. |
| | Figura 6 |
Dados dois conjuntos A = {a,b,c} e B = {1,2,3,4}, o produto cartesiano desses dois conjuntos está representado na Figura 6, ao lado: Algoritmo da multiplicação Vamos analisar este item acompanhando as Figuras 7a e 7b, abaixo. | | | Figura 7a | Figura 7b |
Propriedades da multiplicação de números Naturais | • | Propriedade do fechamento: a multiplicação de números Naturais é uma operação fechada em N, pois o resultado de uma multiplicação de dois números Naturais é sempre um número Natural. | | • | Propriedade comutativa: se a e b são dois números Naturais, a ordem com que forem multiplicados não altera o produto: |
| • | Propriedade associativa: se a, b e c são três números Naturais, podemos substituir dois ou mais fatores pelo produto efetuado sem alterar o resultado: |
| [a X b] X c = a X [b X c] |
[5 X 6] X 8 = 5 X [6 X 8]
30 X 8 = 5 X 48
240 = 240 |
| • | Elemento neutro: o elemento neutro da multiplicação é o 1. Todo número multiplicado por 1 resulta nele mesmo. |
| • | Elemento absorvente: o elemento neutro da multiplicação é o 0. Todo número multiplicado por 0 é igual a 0. |
Múltiplos de um número Natural | | Figura 8 |
Um número Natural a é múltiplo de outro número Natural b se a for igual ao produto de b por um número Natural, ao que chamaremos n (Figura 8, acima). Isto é: | a é múltiplo de b se a = b X n |
Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição Permite transformar uma multiplicação em uma adição. Dados três números Naturais a, b e c, verifica-se: | a X (b + c) = (a X b) + (a X c) |
3 X (2 + 5) = (3 X 2) + (3 X 5)
3 X 7 = 6 + 15
21 = 21 |
Para lembrar: | Aplicar a propriedade distributiva de forma invertida, isto é, a conversão de uma adição de fatores em multiplicação, chama-se colocar o fator comum em evidência: (a X b) + (a X c) = a X (b + c). |
Multiplicação por 10 ou por potências de 10 Em função do caráter posicional de nosso sistema de numeração, observamos que o produto de um número Natural por 10, 100, 1 000, ..., é obtido acrescentando-se à direita deste número tantos zeros quantos forem os que acompanham a unidade: 37 X 10 = 370
153 X 100 = 15 300 |
Vamos ver a justificativa disto: 375 = 3 X 102 + 7 X 10 + 5
375 X 100 = (3 X 102 + 7 X 10 + 5) X 102 |
Aplicando a propriedade distributiva: 375 X 100 = 3 X 104 + 7 X 103 + 5 X 102
375 X 100 = (3 X 102 + 7 X 10 + 5) X 102 |
Divisão exata de números Naturais Operação inversa à da multiplicação, permite encontrar o fator desconhecido de uma multiplicação de dois fatores, pela qual conhecemos o produto e o outro fator. O dividendo é igual ao divisor multiplicado pelo quociente: | Em uma divisão exata, o dividendo é divisível pelo divisor, ou, então, o dividendo é múltiplo do divisor. |
Algoritmo da divisão | | Figura 9 |
Vamos acompanhar este item na Figura 9: Equivalências fundamentais na divisão | d = D q | q = D d |
| d divisor; DDividendo; qquociente |
| 20 5 = 4; 20 4 = 5; 4 X 5 = 20 |
Divisão aproximada ou não-exata de números Naturais Na divisão não-exata, o resto não é 0, portanto: Nessa situação fala-se de divisão não-exata por: Alterações do quociente e do resto na divisão Se multiplicarmos ou dividirmos o dividendo e o divisor por um mesmo número não-nulo, o quociente não se altera, mas o resto fica multiplicado ou dividido por este número: | Ao multiplicar dividendo e divisor por 2, o quociente ficou igual, mas o resto ficou multiplicado por 2. |
Propriedades da divisão Para dividir uma multiplicação de dois fatores por um número não-nulo, basta dividir um dos fatores pelo referido número. Em geral: | (a X n) b = (a b) X n |
| (45 X 13)9 | PRIMEIRA FORMA
45 X 13 = 585
585 9 = 65 | SEGUNDA FORMA
45 9 = 5
13 X 5 = 65 |
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Propriedade distributiva Para dividir uma adição por um número não-nulo, dividiremos cada parcela por este número e somaremos os resultados: (8 + 12 + 28) 4 = (8 4) + (12 4) + (28 4)
48 4 = 2 + 3 + 7; 12 = 12
Em geral, podemos concluir que: | (a + b + c) n = (a n) + (b n) + (c n) |
| | Figura 10 |
Veja, por exemplo, a Figura 10, abaixo: Inteiros positivos e negativos
Os números + 2, + 3, – 4, + 20, – 123, + 78, – 675, – 10, + 54, ... são números Inteiros. | De modo geral, representamos os números Inteiros usando um número Natural a, diferente de zero, precedido de um sinal positivo (+) ou negativo ( ). |
| | Figura 11 |
Números Inteiros com sinal + chamamos de Inteiros positivos. Números Inteiros com sinal - chamamos de Inteiros negativos. Ao conjunto de todos os números Inteiros positivos e todos os números Inteiros negativos, juntamente com o 0, chamamos de conjunto dos números Inteiros, e representamos por Z (Figura 11, ao lado). representa o subconjunto dos números Inteiros positivos. representa o subconjunto dos números Inteiros negativos. Representação gráfica dos números Inteiros
Podemos representar os números Inteiros sobre uma reta horizontal ou vertical da seguinte maneira (Figuras 12a e 12b, abaixo):
| • | Marcamos um ponto sobre a reta. | | • | Escolhemos a unidade de medida, que deve ter sempre o mesmo comprimento. | | • | Finalmente, representamos os números. |
| | Figura 12a |
| | Figura 12b |
| • | Se a reta for horizontal, colocamos os números positivos à direita do zero e os negativos, à esquerda (Fig. 12a, acima). | | • | Se, ao contrário, os representarmos sobre uma reta vertical, os números positivos ficarão acima do zero e os números negativos, abaixo (Fig. 12b, ao lado). |
Coordenadas no plano
Usando a representação feita para os números Inteiros, os eixos de coordenadas são formados pela interseção da reta vertical e a reta horizontal no valor zero. Para lembrar: | Denominamos coordenadas no plano à representação gráfica de um ponto dado por suas componentes vertical e horizontal. |
| | Figura 13 |
Vamos representar os seguintes pontos no plano, conforme a Figura 13, ao lado: | A (+ 3, + 4) | E (0, – 3) | | B (– 2, + 5) | F (+ 4, – 6) | | C (– 4, – 2) | G (0, + 3) | | D (– 5, 0) | H (+ 7, 0) |
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Valor absoluto de um número Inteiro
Valor absoluto de um número Inteiro é o próprio número, se ele for positivo.
Caso ele seja negativo, toma-se o sinal contrário, tornando-o positivo. O valor absoluto de – 5 é 5
O valor absoluto de + 3 é 3
O valor absoluto de um número Inteiro a é representado por |a| e lê-se valor absoluto de a. |+ 4| = 4
(O valor absoluto de + 4 é 4) |– 8| = 8
(O valor absoluto de – 8 é 8) Números Inteiros opostos
Quando dois números Inteiros têm o mesmo valor absoluto e sinais contrários, dizemos que são opostos: – 3 é o oposto de + 3
+ 100 é o oposto de – 100 |
Podemos dizer que + a é o oposto de – a, e que – a é o oposto de + a. Ordenação dos números Inteiros
No conjunto dos números Inteiros, definiremos a seguinte relação de ordem: | • | Todo número Inteiro positivo é maior do que qualquer negativo: |
| • | Entre dois números Inteiros positivos é maior aquele que tem maior valor absoluto: |
| • | Entre dois números Inteiros negativos é maior aquele que tem menor valor absoluto: |
| • | O zero é maior do que qualquer número Inteiro negativo e menor do que qualquer Inteiro positivo: |
Operações com os números Inteiros
Conhecido o conceito de números Inteiros, vamos definir as operações entre eles. Adição de números Inteiros. Na adição, podemos encontrar dois casos: | • | Quando as duas parcelas têm o mesmo sinal: para somar dois números Inteiros de mesmo sinal, somamos seus valores absolutos e atribuímos ao resultado o sinal comum a eles. |
(+ 5) + (+ 3) = + 8
(– 5) + (– 10) = – 15 |
| • | Quando as parcelas têm sinais diferentes: para somar dois números Inteiros de sinais diferentes, devemos achar seus valores absolutos, subtraí-los e atribuir ao resultado o sinal do número de maior valor absoluto. |
(– 18) + (+ 10)
O valor absoluto de – 18 = 18
O valor absoluto de + 10 = 10 |
| | Figura 14 |
Subtraímos os valores absolutos: 18 – 10 = 8
Como o sinal do número de maior valor absoluto é –
teremos (– 18) + (+ 10) = – 8
Graficamente, podemos resolver as somas na forma mostrada nas Figuras 14, Figuras 15 e 16, ao lado: Sentido positivo
Sentido negativo Propriedades da adição de números Inteiros. | | Figura 15 |
| • | Propriedade do fechamento em Z: quando somamos dois números Inteiros, obtemos sempre outro número Inteiro. |
| Se a Z e b Z, então a + b = c Z |
| • | Associativa: na adição de números Inteiros, podemos substituir duas ou mais parcelas pela soma efetuada. Isto é, o resultado independe da forma como agrupamos as parcelas. |
| | Figura 16 |
| (a + b) + c = a + (b + c) |
[(– 2) + (– 9)] + (+ 3) = (– 2) + [(– 9) + (+ 3)]
(– 11) + (+ 3) = (– 2) + (– 6)
– 8 =– 8 |
| • | Comutativa: na soma de números Inteiros, a ordem das parcelas não altera o resultado. |
(+ 3) + (– 7) = ( 7) + (+ 3)
4 = 4 |
| • | Elemento neutro: no conjunto Z, dos números Inteiros, existe um elemento neutro com relação à adição, tal que a + elemento neutro = a. O elemento neutro da adição é o 0. |
(– 7) + 0 = – 7 | • | Elemento oposto: para cada elemento do conjunto dos números Inteiros, existe outro elemento deste conjunto, com o mesmo valor absoluto mas de sinal contrário, tal que a + elemento oposto = 0. |
(+ 7) + (– 7) = 0 As propriedades do elemento oposto da adição são: | • | O oposto de zero é o próprio zero. | | • | O oposto de uma soma é a soma dos opostos das parcelas. | | • | O oposto do oposto de um número Inteiro é o mesmo número Inteiro. |
Subtração de números Inteiros | | Figura 17 |
Para subtrair números Inteiros sobre a reta, contamos as unidades existentes do subtraendo até o minuendo. Para lembrar: | Se contarmos para a direita, o resultado será positivo, mas se for para a esquerda, o resultado será negativo. |
| | Figura 18 |
Veja exemplos da subtração de números Inteiros nas Figuras 17, 18 e 19: Para lembrar: | Para subtrair números Inteiros, somamos ao minuendo o oposto do subtraendo. |
(+ 3) (+ 5) = (+ 3) + ( 5) = 2
( 3) ( 5) = ( 3) + (+ 5) = + 2 |
| | Figura 19 |
Supressão de parênteses Daqui em diante podemos eliminar os parênteses para realizar adições e subtrações com os números Inteiros, da seguinte maneira: | • | No caso de haver um sinal + à frente de um número ou uma expressão entre parênteses, podemos suprimir os parênteses deixando o número ou a expressão com os mesmos sinais: |
+ (+ a) = + a
+ (– 3) = – 3
+ (a + b – c) = a + b – c
+ (– 3 + 5 – 4) = – 3 + 5 – 4 |
| • | No caso de haver um sinal antes de um número ou expressão entre parênteses, podemos suprimir os parênteses mudando os sinais do número ou da expressão: |
– (+ a) = – a
– (+ 3) = – 3
– (a + b – c) = – a – b + c
– (– 3 + 5 – 4) = + 3 – 5 + 4 |
Multiplicação de números Inteiros Para multiplicar dois números Inteiros temos de multiplicar seus valores absolutos atribuindo ao resultado o sinal dado pela regra do produto de números Inteiros. Podemos estabelecer: | • | Se os sinais dos dois fatores forem iguais, o produto é positivo. | | • | Se os sinais dos dois fatores forem diferentes, o produto é negativo. |
(+ 3) X (– 2) = – 6
(+ 5) X (+ 7) = + 35 | (– 6) X (+ 4) = – 24
(– 5) X (– 3) = + 15 |
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Propriedades da multiplicação de números Inteiros | • | Propriedade do fechamento em Z: quando multiplicamos dois números Inteiros, o resultado é sempre outro número Inteiro: |
| Se a Z e b Z, então a X b = c Z |
| • | Associativa: podemos substituir dois ou mais fatores por seu produto efetuado sem alterar o resultado. |
| (a X b) X c = a X (b X c) |
[(– 7) X (+ 2)] X (– 3) = (– 7) X [(+ 2) X (– 3)]
(– 14) X (– 3) = (– 7) X (– 6)
– 42 = – 42 |
| • | Comutativa: a ordem em que multiplicamos os fatores não altera o valor do produto. |
(– 3) X (+ 10) = (+ 10) X (– 3)
– 30 = – 30 |
| • | Elemento neutro: dentro do conjunto dos números Inteiros, existe um elemento neutro com relação à multiplicação tal que a X elemento neutro = a. O elemento neutro da multiplicação é 1. |
1 X (– 5) = – 5 | • | Propriedade distributiva da multiplicação com relação à soma: no produto de números Inteiros, verifica-se a seguinte igualdade. |
| a X (b + c) = (a X b) + (a X c) |
(– 5) X [(– 2) + (+ 6)] = [(– 5) X (– 2)] + [(– 5) X (+ 6)]
(– 5) X (+ 4) = (+ 10) + (– 30)
– 20 = – 20 |
| Figura 20a | Figura 20b | Figura 20c | | | | | As Figuras 20a, 20b e 20c mostram a interpretação geométrica da propriedade distributiva da multiplicação de números Inteiros |
Se utilizamos a propriedade distributiva da multiplicação de números Inteiros em sentido contrário, isto é, da seguinte maneira: Diremos que colocamos o fator comum em evidência, no caso, a. | 3a + 3bc – 3d = 3 (a + bc – d) |
Divisão de números Inteiros Para realizar a divisão de números Inteiros, dividimos os valores absolutos e colocamos o sinal (positivo ou negativo) seguindo as mesmas regras usadas na multiplicação de números Inteiros. (– 8) (– 4) = + 2 (– 8) (+ 4) = – 2
(+ 8) (– 4) = – 2 (+ 8) (+ 4) = + 2 |
No caso da divisão não ser exata, o quociente deixa de ser um número Inteiro. Prioridade de operações Quando realizamos operações combinadas, devemos respeitar a prioridade de operações em função das seguintes considerações: | • | Realizamos as operações indicadas entre parênteses. | | • | Em seguida, efetuamos as multiplicações e as divisões. | | • | Por último, realizamos as operações de adição e subtração. |
7 + 5 X 3 – 4 (– 8 + 6) =
7 + 5 X 3 – 4 (– 2) =
7 + 15 + 2 = 24 |
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