Para iniciar, vamos considerar algumas hipóteses. Mônica espera ansiosamente o nascimento de seu filho, mas ela ainda não sabe qual será o sexo da criança. Em outro caso, antes do início de um jogo, o juiz tira 'cara ou coroa' com uma moeda para definir o time que ficará com a bola. Numa terceira hipótese, toda semana, milhares de pessoas arriscam a sorte na loteria. Problemas como os acima são, hoje, objeto de estudo das probabilidades. Embora as apostas e os jogos sejam paixões antigas da humanidade, somente no século XVII os estudiosos começaram a pesquisar as questões relacionadas a eles. Os matemáticos franceses Pierre de Fermat (1601 a 1665) e Blaise Pascal (1623 a 1662) foram os primeiros a estudar de maneira organizada o tema. Com esses estudos, desenvolveu-se uma verdadeira teoria dos jogos que seria posteriormente imprescindível ao progresso da Física Quântica e das modernas teorias sobre o Caos.
 

1. Experiências aleatórias
São muitas as atividades científicas ou cotidianas que não apresentam um resultado previsível. Tirar 'cara ou coroa' com uma moeda, jogar na loteria, escolher uma carta do baralho ou tentar adivinhar o sexo de uma criança são jogos e atividades que possuem três características comuns: 

Para lembrar:

Assim, chamamos de experimento aleatório a todo experimento que, sob condições idênticas, têm resultados imprevisíveis. 

2. Espaço amostral
Chamamos de espaço amostral ao conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. 

Assim, no caso do lançamento de uma moeda, como acontece no início dos jogos de futebol, o espaço amostral é {cara, coroa}. 

Habitualmente, o espaço amostral é representado pelas letras S  ou . 

Dentro desse espaço amostral, qualquer subconjunto formado será o que conhecemos como evento, indicado por uma letra maiúscula, geralmente E. 

Diremos que o evento se realizou quando, na realização de um experimento aleatório, o resultado obtido pertencer a esse subconjunto. 

Considere o experimento aleatório de lançar um dado e anotar o resultado. 

O espaço amostral deste experimento é: 

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Todos os subconjuntos formados a partir desse conjunto são chamados eventos. 

Assim, por exemplo, serão eventos diferentes desse espaço amostral os seguintes subconjuntos: 

Suponhamos que, tendo lançado o dado, o resultado foi 3. Se o evento A for número ímpar, podemos dizer que o evento A ocorreu? Será que o evento B foi maior do que 4?  

Como podemos constatar, o número 3 aparece entre os elementos do subconjunto A = {1,3,5}. Por isso, dizemos que o evento A foi ímpar. 

Ao contrário, o evento B não foi maior do que 4, pois 3 não se encontra entre os elementos do subconjunto, B = {5,6}. 

3. Grau de confiança
Ao definirmos experiências aleatórias, ficou bem claro que desconhecemos qual será o resultado de sua ocorrência. 

Apesar disso, alguns eventos merecem maior confiança que outros. 

Observe, novamente, o exemplo do lançamento de um dado e considere a possibilidade de o evento
A = {1,3,5} sair ímpar, e B = {5,6} ser maior do que 4. 

Se nos perguntarmos qual deles ocorrerá, não poderemos responder com exatidão, mas como o primeiro tem mais resultados possíveis que o segundo, temos um maior grau de confiança no primeiro do que no segundo. 

Partindo desse critério, mais intuitivo que matemático, interessa-nos quantificar o grau de confiança dos diversos eventos de qualquer experimento aleatório. 

Para tal, utilizamos as chamadas relações de freqüência. 

4. Relação de freqüência

Figura 1

Para quantificar o grau de confiança, devemos associar um valor numérico a cada resultado possível. 

Cada número associado deverá ser positivo ou zero, sempre menor do que 1 e, além disso, a soma de todos os valores numéricos deverá ser igual a 1. 

Observe que nos limitamos a dividir proporcionalmente o número 1  entre todos os resultados possíveis. 

Essa divisão é conhecida como relação de freqüência. 

O critério que aplicaremos nesta divisão será a freqüência relativa esperada para cada resultado. 

Se jogarmos com uma roleta como a da Figura 1, acima, vamos obter somente três resultados: vermelho, verde e azul. 

Portanto, o espaço amostral é: 

= {vermelho, verde, azul}

Além disso, observando a Figura 1, e considerando a freqüência relativa dos resultados possíveis, podemos deduzir a seguinte relação de freqüência: 

Os valores numéricos, sempre menores do que 1, que associamos a cada resultado possível, não foram escolhidos ao acaso. 

Eles têm sua razão de ser na Figura 1. Observe que o setor vermelho ocupa um quarto do total da roleta, enquanto o verde e o azul ocupam, meio a meio, os três quartos restantes. 

5. Probabilidade de um evento
Agora podemos quantificar o grau de confiança de qualquer evento. 

Atribuímos a cada evento um número obtido da soma das imagens de cada um de seus elementos na relação de freqüência. Este número chama-se probabilidade do evento. 

Observe como se resolve o seguinte caso. 

O experimento consiste em extrair uma bola do interior de uma caixa e observar sua cor. Há um total de nove bolas na caixa: duas brancas, três vermelhas e quatro pretas. 

Figura 2

Qual será a probabilidade de tirar uma bola que não seja preta? 

Para solucionar esta questão, preparamos o esquema da Figura 2: 

O espaço amostral da Figura 2 é: 

= {branca, vermelha, preta}

E a relação de freqüência, obedecendo ao esquema, é: 

O evento tirar uma bola de cor diferente do preto, ou seja, A = {B,V}, consta de dois elementos. 

Como foi dito na definição de probabilidade, atribuímos a cada evento um número obtido da soma das imagens de cada elemento na relação de freqüência. 

Portanto, se somarmos as imagens da bola branca, 2/9, e da vermelha, 3/9, que aparecem na relação de freqüência deste exemplo, vamos conhecer o valor da probabilidade do evento A, indicado por P(A). 

Assim, 

Em alguns experimentos aleatórios, cada um dos resultados (eventos elementares) tem a mesma freqüência relativa esperada. 

Este é o caso de lançar uma moeda ou um dado e comprovar o resultado. 

Dizemos, então, que o espaço amostral é eqüiprovável, e que sua probabilidade é uniforme. 

6. Fórmula ou Regra de Laplace
A Regra de Laplace é considerada a definição clássica de probabilidade. 

Para que essa definição de probabilidade seja válida, devem-se cumprir os seguintes requisitos: 

Assim, S = {a₁, a₂, ..., a_p}

Portanto, 

P ({a₁}) = P ({a₂}) = ... = P ({a_p})

Nesses casos, o cálculo da probabilidade de um evento qualquer é realizado pela seguinte expressão: 

Uma vez que o número de casos favoráveis coincide com o número de elementos do evento, e o número de casos possíveis corresponde ao número de elementos do espaço amostral, podemos escrever: 

Assim, no exemplo do lançamento de um dado, se o evento A consiste em obter um 5, o número de casos favoráveis será 1, pois num dado não-viciado só existe um 5, e o número de casos possíveis é 6, portanto o espaço amostral é:

= {1,2,3,4,5,6}

Assim, a probabilidade do evento A  será: P (A) = 1/6 

Quando dizemos que a probabilidade do evento A é 1/6, isto não significa que, se jogarmos o dado seis vezes, em uma delas sairá, com toda a certeza, o número 5. Pode ser que o número 5 não saia nenhuma vez, ou ele pode sair mais de uma vez.  

A probabilidade 1/6 indica apenas que, se repetirmos esse experimento um número muito grande de vezes, o evento A vai ocorrer em aproximadamente 1/6 do total de jogadas. 

Figura 3

Observe a roleta da Figura 3 e pense na probabilidade existente de saída para cada número. 

a) Qual a probabilidade de cada evento elementar? 

b) Qual a probabilidade de o número ser par? 

A roleta, um dos jogos de azar preferidos pelos apostadores nos cassinos, teve sua origem na França do século XVIII. É formada por 36 elementos dispostos em três colunas de 12 números e um espaço reservado para o zero. As chamadas apostas simples são: sair par ou sair ímpar, sair vermelho ou sair preto, e sair números menores (de 1 a 18) ou sair números maiores (de 19 a 36)

7. Evento certo e evento impossível
Há diversos tipos de eventos. Vamos expor, em seguida, alguns deles. 

= {1,2,3,4,5,6}

E = {1,2,3,4,5,6} =

Assim, a probabilidade de ocorrer o evento E  é: 

No caso em que  = E, o evento chama-se evento certo. 

Nesse caso, percebemos que 

F =  e P(F) = 0/6 = 0

Se F  = , o evento F  chama-se evento impossível. 

A partir dessas definições, podemos chegar à seguinte conclusão: 

Se A é um evento qualquer, 0  P(A)  1

Qual é a probabilidade de que A  ou B  ocorram? 

Isto é o mesmo que perguntar pela P (A  B). 

Temos: 

A = {2,4,6} B = {4,5,6} A  B = {2,4,5,6} Então: P (A  B) = 4/6 = 2/3

Vamos buscar uma relação entre P(A), P(B), P(A  B) e P(A  B). 

Note que A  B = {4,6} 

Assim: 

que pode ser expresso por: 

P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) 

Mesmo sendo adotada como exemplo, essa propriedade é geral, válida para quaisquer eventos. 

Temos, então, que se A e B são eventos quaisquer de um espaço amostral : 

P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)

No caso em que A  B  = , o que implica P(A  B)  = 0, os eventos A  e B  são chamados eventos mutuamente exclusivos e P(A  B) = P(A) + P(B) 

Assim: 

Isto se deve à inexistência de elementos em comum entre eles. 

•	Existem também os chamados eventos complementares. Dado um evento qualquer A, por exemplo, sair número par.
•	O evento que ocorre sempre que não se realize A  é denominado evento complementar de A e é representado por .

Se não ocorreA(sair número par), significa que ocorreu o complementar de A  ,(sair número ímpar). 

Como a união de dois eventos complementares deve ser sempre igual ao espaço amostral, podemos dizer que a soma de suas probabilidades deve ser 1. 

P(A) + P() = 1, isto é P() = 1 – P(A) 

8. Probabilidade de uma experiência composta

Também pode nos interessar o cálculo da probabilidade de uma experiência composta, ou seja, a realização de dois ou mais experimentos aleatórios simples. 

Nesses casos, a freqüência relativa esperada para cada resultado possível do experimento é obtida a partir do produto das freqüências relativas esperadas de cada elemento que compõe o referido resultado. 

Temos uma moeda e duas caixas cheias de bolas coloridas. Na caixa A  temos duas bolas vermelhas e cinco pretas, enquanto na B  há quatro bolas vermelhas e uma bola azul. 

Imagine a seguinte experiência composta: lançamos uma moeda; se der 'cara', extraímos uma bola da caixa A; e se der 'coroa', uma bola da caixa B. 

Em seguida, vamos representar por um diagrama em árvore os resultados possíveis da experiência composta. 

Vamos Indicar também as freqüências relativas esperadas para cada experiência parcial (Figura 4). 

Figura 4

Como observamos no esquema da figura anterior, o espaço amostral é: 

= {(cara, vermelha), (cara, preta), (coroa, vermelha), (coroa, azul)}

O objetivo é definir uma probabilidade para o conjunto , que representa os resultados possíveis da experiência composta. 

A relação de freqüência é obtida atribuindo-se a cada resultado o produto das freqüências relativas esperadas, que aparecem em cada ramo completo do diagrama em árvore da Figura 4. 

Desta maneira, comprovamos que a relação de freqüência, neste caso, é a seguinte: 

Agora podemos calcular a probabilidade de qualquer evento dessa experiência composta. 

Se quisermos saber a probabilidade de ocorrer o evento R, de que ao extraírmos uma bola ela seja vermelha: 

Assim, é dado que: 

Podemos afirmar que: 

Simplificando, ficamos com: 

9. Distribuição binomial
Diz-se que uma variável real x é aleatória se os valores de x dependem do acaso. Por isso, uma variável aleatória sempre aparece ligada a um experimento aleatório. Sendo S o espaço amostral de um experimento aleatório e P uma probabilidade definida em P(S), chama-se variável aleatória a toda função: 

Isto é verdadeiro para toda função que atribua a cada evento elementar do espaço amostral um número Real. 

De acordo com a notação matemática, costuma-se representar a variável aleatória por uma letra maiúscula, geralmente X, Y ou Z, e os diferentes valores da variável X, como x₁, x₂, ..., x_n. 

Se o conjunto imagem X (S) é finito, trata-se de uma variável aleatória discreta. Se, ao contrário, o conjunto imagem X (S) é um intervalo, será uma variável aleatória contínua. 

Consideremos, agora, um tipo de experimento aleatório em que só se obtêm dois resultados: a um chamamos de sucesso, com uma probabilidade p; ao seu complementar, denominamos fracasso, com uma probabilidade q = 1  -  p. . 

Ao passar por um teste de 10 questões, Marcos, que não havia se preparado para a avaliação, assinala qualquer das 5 alternativas de cada teste. Qual a probabilidade de o rapaz acertar 6 questões? 

Inicialmente sabemos que a probabilidade de ele acertar um teste é 1/5, isto porque há uma alternativa correta para cada uma das alternativas. Assim, a probabilidade de ele errar será de 1 - 1/5 = 4/5. 

Para obtermos a probabilidade de Marcos acertar 6 e errar 4 questões, falta ainda considerar que ele pode acertar 6 de qualquer um dos 10 testes. 

Matematicamente, essa consideração se traduz na combinação de 10 elementos, tomados 6 a 6. 

Assim, a probabilidade de Marcos acertar 6 dos 10 testes será dada pela expressão: 

Imaginemos agora que, ao lançarmos um dado, possamos chamar de sucesso caso saia o número 5 e de fracasso caso saia qualquer outro número. 

Se essa experiência aleatória for repetida n  vezes, sempre nas mesmas condições e com lançamentos independentes uns dos outros, a variável aleatória que queremos estudar será o número total de sucessos obtidos ao final da experiência. 

Portanto, a probabilidade p de obtermos x sucessos no total de n repetições será dada pela seguinte expressão:

Observe que a expressão matemática de p(x) é a de um termo do desenvolvimento do Binômio de Newton; neste caso, para a potência (p + q)ⁿ. 

Por isto, a distribuição de probabilidades estudada recebe o nome de distribuição binomial. 

Para evitar a complexidade dos cálculos de p(x), costuma-se utilizar tabelas acumulativas. Nessas tabelas, não encontraremos valores de p superiores a 0,5, pois a disposição da informação que contêm nos permite consultá-las tanto para valores de p como de q = 1  - p.  

Alex vai de ônibus todos os dias para o trabalho. Sua experiência lhe diz que, independentemente da hora em que sair de casa, terá de esperar pelo ônibus um máximo de 15 minutos e um mínimo de zero minutos, já que em alguns dias consegue pegá-lo no instante em que chega ao ponto. Do mesmo modo, por culpa dos engarrafamentos do trânsito da cidade, a hora de chegada do ônibus ao ponto é imprevisível. 

Qual será a probabilidade de Alex precisar esperar no máximo 5 minutos? E no mínimo x  minutos? 

p (T5) = 5/15 = 1/3; p (Tx) = x/15 

Em geral, essas perguntas podem ser respondidas formulando-se a seguinte função: F (x) = p (T  x) onde T será o tempo compreendido entre 0  e x, e p  (T  x) será a probabilidade de que Alex tenha de esperar esse tempo no ponto. 

Figura 5

Esta função está representada graficamente na Figura 5: 

À esquerda do valor zero (0) está representada a probabilidade de Alex ter de esperar um tempo menor ou igual a 0. Observe que esta probabilidade é 0. 

No intervalo [0, 15], a função é um segmento retilíneo com uma probabilidade entre 0 e 1. À direita, com um tempo de espera igual ou superior a 15 minutos, a probabilidade é sempre 1. 

Nos bingos ou nos sorteios de loteria, assim como em qualquer jogo de azar, a probabilidade de sair o número que esperamos é imprevisível

Desse modo, a função F está definida para qualquer número real x. Assim, a probabilidade de o tempo que Alex terá de esperar o ônibus estar compreendido entre os valores x e x + h pode ser facilmente calculada pela seguinte diferença:

p(x < tx + h) = F (x + h) - F (x)

A função F  que definimos no exemplo acima recebe o nome de função de distribuição acumulada para a variável aleatória contínua. Enumeramos em seguida suas propriedades, já registradas na explicação da Figura 5. 

Os valores F (x) estão compreendidos entre 0 e 1. 

Se a variável aleatória for contínua, ou seja, definida no intervalo [a, b]: 

F (x) = 0 para x < a e F (x) = 1 para x > b. 

F   é uma função não decrescente. 

F   é uma função contínua. 

EXERCÍCIOS 1. Verificar qual é o espaço amostral dos seguintes experimentos aleatórios: a) Lançar um dado e anotar o resultado. b) Tirar uma bola de uma caixa cheia de bolas vermelhas e pretas. c) Lançar dois dados e anotar a soma de seus pontos. 2. Indicar as relações de freqüência nas roletas da Figura 6, abaixo (recordemos que se baseiam na freqüência relativa de cada resultado possível). Figura 6 3. Temos um dado e duas bolsas com bolas coloridas. Na bolsa A há duas bolas vermelhas e cinco pretas, enquanto na bolsa B há quatro bolas vermelhas e uma bola preta. a) Imagine a seguinte experiência composta: lançamos o dado;se sair um múltiplo de 3, extraímos uma bola da bolsa A, e se não sair um múltiplo de 3, uma bola da bolsa B. Calcular a probabilidade de o evento N tirar uma bola preta. 4. Observe a ilustração da mesa de rolata no item 7, para responder às seguintes questões: a) Trata-se de um experimento aleatório? b) Qual é seu espaço amostral? c) Quantos são os resultados possíveis? d) Qual a probabilidade de sair premiado o número 23? 5. Calcular a probabilidade de P (A  B) sabendo que A  B   e que P (A) = 1/2, P (B) = 1/3, P (A  B) = 1/12. 6. Qual a probabilidade de se escolher, ao acaso, um número menor do que 4 entre os números: 1, 2, 3, ... 12?